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Chapitre 5 • Évolution temporelle - Postulats (3)
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linéaires du premier ordre couplées (éventuellement en nombre infini). Afin de découpler ces équations on diagonalise la matrice. C'est ce que nous décrivons.
1. Caractériser la base d'états propres de H (les états stationnaires). Nous notons {l'Pn )} cette base et En les valeurs propres correspondantes i.e. Hl'Pn) =
Enl 'Pn ).
2. Décomposer le vecteur d'état dans cette base: 11/t(t)) =Ln Cn(t) l'Pn ). On obtient alors des équations différentielles du premier ordre découplées pour les
composantes, ihên(t) = Encn(t), élémentaires à résoudre.
3. Finalement :
l lft(t)) = I Cn (0) e -iEnt/1i 1 'Pn )
(5.2)
n
4. Les coefficients Cn(O) sont déterminés à l'aide des conditions initiales : Cn(O) =
(cpnl l/t(O) ).
5.1.2 Opérateur d'évolution temporelle
L'évolution temporelle peut être prise en compte par l'intermédiaire d'un opérateur
d'évolution (ou de translation temporelle)
11/t(t)) = U(t) 11/t(O))
(5.3)
Si H est indépendant du temps, la résolution de l' équation (5.1) montre que U(t) =
e-iHt/1i. Nous pouvons faire le lien avec (5.2) en utilisant la représentation spectrale
de l' opérateur d'évolution (en utilisant le résultat de l'exercice 3.10)
U(t) = e- *Ht = I e- *E,,tl 'Pn )( 'Pn I,
(5.4)
n
qui nous donne immédiatement (5.2).
• Cas général
Plus généralement, si H(t) dépend du temps, l' opérateur d'évolution temporelle est
obtenu en résolvant l'équation différentielle (pour des opérateurs)
. d
in-U(t, t 0 ) = H(t) U(t, to)
dt
pour U(to, to) = 1.
Dans ce cas U(t, t 0 ) ne prend pas une forme simple comme (5.4).
(5.5)