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5.1. Résolution de l'équation de Schrôdinger
• Unitarité et conservation de la probabilité
Un point très important rendu plus explicite par cette présentation en terme d'opérateur d'évolution est lié à l'unitarité de celui-ci. L' hermiticité de l' hamiltonien implique, d'après (5.5), l'unitarité de l'opérateur d' évolution JJU(t, t 0 )t U(t, to)] = 0
i.e. U(t, to)t U(t, to) = 1. La condition d' unitarité peut être directement reliée à la
conservation de la probabilité ( l/f(t) 11/f(t)) = ( l/f(O) 11/f(O)) (ce qu'on peut aussi prouver directement à partir de l'équation de Schrodinger, bien sûr).
Nous illustrons maintenant la mise en œuvre de la méthode de résolution de l'équation de Schrodinger sur deux exemples ; d 'autres exemples seront rencontrés par la
suite.
5.1.3 Application 1 : Évolution libre
Considérons une particule libre non relativiste de masse m, dont la dynamique est
A
'2
décrite par 1 'hamiltonien H = fm.
Première étape : trouver le spectre de l'Hamiltonien. Les états stationnaires sont
,2
2
ici les ondes planes 1 p), états propres de l' opérateur d 'impulsion fm 1 p) = fm 1 p)
(attention à ne pas confondre l'opérateur pet la valeur propre p).
Dans un second temps nous décomposons la fonction d'onde à t = 0 dans la base
des états propres :
11/t(Ü)) = [
00
dp 1p)(p11/t(Ü) ) = 1:
00
dp ifl(p, Ü) 1 p )
(5.6)
où nous avons introduit la fonction d 'onde dans l'espace des impulsions lf(p, t) ~
( p 11/f(t) ). Nous déduisons immédiatement :
2
.
autrement dit l/t(p, t) = l/t(p, O)e- i{,,r,t = l/t(p, O)e- fi Ept avec Ep =
p2
- (cf exer2m
·
cice 3.6). Le problème sera approfondi dans l' exercice 5.3.
5.1.4 Application 2 : Système à deux niveaux
Considérons un système physique dont l'espace de Hilbert est de dimension 2. Une
base orthonormée est notée {I u 1 ),1 u2 ) }. C'est la situation la plus simple à laquelle
on peut penser .
Un exemple d'une telle situation est l'étude de l'état de spin d'une particule de spin
1/2 (le spin est un moment ci nétique intrinsèque, cf. le chapitre 8) : dim Y't;pin 1/2 = 2.
Un autre exempl e est discuté dans l'exercice 6.2 décrivant la molécule NH 3 . L' espace
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5.1. Résolution de l'équation de Schrôdinger
• Unitarité et conservation de la probabilité
Un point très important rendu plus explicite par cette présentation en terme d'opérateur d'évolution est lié à l'unitarité de celui-ci. L' hermiticité de l' hamiltonien implique, d'après (5.5), l'unitarité de l'opérateur d' évolution JJU(t, t 0 )t U(t, to)] = 0
i.e. U(t, to)t U(t, to) = 1. La condition d' unitarité peut être directement reliée à la
conservation de la probabilité ( l/f(t) 11/f(t)) = ( l/f(O) 11/f(O)) (ce qu'on peut aussi prouver directement à partir de l'équation de Schrodinger, bien sûr).
Nous illustrons maintenant la mise en œuvre de la méthode de résolution de l'équation de Schrodinger sur deux exemples ; d 'autres exemples seront rencontrés par la
suite.
5.1.3 Application 1 : Évolution libre
Considérons une particule libre non relativiste de masse m, dont la dynamique est
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Première étape : trouver le spectre de l'Hamiltonien. Les états stationnaires sont
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ici les ondes planes 1 p), états propres de l' opérateur d 'impulsion fm 1 p) = fm 1 p)
(attention à ne pas confondre l'opérateur pet la valeur propre p).
Dans un second temps nous décomposons la fonction d'onde à t = 0 dans la base
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où nous avons introduit la fonction d 'onde dans l'espace des impulsions lf(p, t) ~
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cice 3.6). Le problème sera approfondi dans l' exercice 5.3.
5.1.4 Application 2 : Système à deux niveaux
Considérons un système physique dont l'espace de Hilbert est de dimension 2. Une
base orthonormée est notée {I u 1 ),1 u2 ) }. C'est la situation la plus simple à laquelle
on peut penser .
Un exemple d'une telle situation est l'étude de l'état de spin d'une particule de spin
1/2 (le spin est un moment ci nétique intrinsèque, cf. le chapitre 8) : dim Y't;pin 1/2 = 2.
Un autre exempl e est discuté dans l'exercice 6.2 décrivant la molécule NH 3 . L' espace
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