-0
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 5 • Évolution temporelle - Postulats (3)
92
de Hilbert de la molécule est de dimension infinie, cependant, si l'on ne s'intéresse
qu'à la physique de basse énergie, nous verrons qu'il est possible de considérer que
l'état quantique de la molécule évolue dans un sous espace de dimension 2 de l'espace des états. Un dernier exemple sera discuté dans l'exercice 5.9 pour l'étude de la
jonction Josephson.
a) Le spectre de l'hamiltonien
La première étape consiste à étudier en détail le spectre de l'hamiltonien. Dans le cas
présent, celui-ci peut être représenté par une matrice 2 x 2 :
H = (Z:: z:~)
(5.8)
où H 12 = H~ 1
• La matrice est paramétrée par 4 paramètres réels indépendants. Nous
introduisons maintenant une nouvelle paramétrisation de H qui se révèlera commode
pour le diagonaliser.
Eo ~ Hu + H22
( 5 . 9 )
2
iB ctef 1 (H11 - H22 .IH I)
e = /1
2
+ 1 12
e-i IHul'
21H12I
i.e. tan e = - - - -
Hu - H 22
avec e E [O, 7r] et (
cos e e- Î H = Eo 12 + /1 illl • 8
8
= Eo 12 + /1 · M
e.,.. sm -cos
(5.10)
(5.11)
(5.12)
(5.13)
où 1 2 est la matrice identité 2 x 2. Nous voyons aisément que la matrice M a pour
valeurs propres ± 1. Les valeurs propres de H sont donc :
E± = Eo ± 11.
(5.14)
Discutons le sens physique des différents paramètres :
• E 0 correspond à la valeur moyenne des deux énergies propres. Une translation des
énergies pourrait ramener Eo à 0 sans changer la physique.
• 211 est la séparation entre les deux niveaux d'énergie .
• Le paramètre e permet d'ajuster le couplage entre les états 1 U() et 1 u2) : e = 0
correspond à l' absence de couplage (1 u 1 ) et 1 u 2 ) sont états propres de H), e = 7r/2
correspond au couplage maximal (quand la différence d'énergie est nulle Hu -
H 22 = 0).
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 5 • Évolution temporelle - Postulats (3)
92
de Hilbert de la molécule est de dimension infinie, cependant, si l'on ne s'intéresse
qu'à la physique de basse énergie, nous verrons qu'il est possible de considérer que
l'état quantique de la molécule évolue dans un sous espace de dimension 2 de l'espace des états. Un dernier exemple sera discuté dans l'exercice 5.9 pour l'étude de la
jonction Josephson.
a) Le spectre de l'hamiltonien
La première étape consiste à étudier en détail le spectre de l'hamiltonien. Dans le cas
présent, celui-ci peut être représenté par une matrice 2 x 2 :
H = (Z:: z:~)
(5.8)
où H 12 = H~ 1
• La matrice est paramétrée par 4 paramètres réels indépendants. Nous
introduisons maintenant une nouvelle paramétrisation de H qui se révèlera commode
pour le diagonaliser.
Eo ~ Hu + H22
( 5 . 9 )
2
iB ctef 1 (H11 - H22 .IH I)
e = /1
2
+ 1 12
e-i IHul'
21H12I
i.e. tan e = - - - -
Hu - H 22
avec e E [O, 7r] et (
cos e e- Î H = Eo 12 + /1 illl • 8
8
= Eo 12 + /1 · M
e.,.. sm -cos
(5.10)
(5.11)
(5.12)
(5.13)
où 1 2 est la matrice identité 2 x 2. Nous voyons aisément que la matrice M a pour
valeurs propres ± 1. Les valeurs propres de H sont donc :
E± = Eo ± 11.
(5.14)
Discutons le sens physique des différents paramètres :
• E 0 correspond à la valeur moyenne des deux énergies propres. Une translation des
énergies pourrait ramener Eo à 0 sans changer la physique.
• 211 est la séparation entre les deux niveaux d'énergie .
• Le paramètre e permet d'ajuster le couplage entre les états 1 U() et 1 u2) : e = 0
correspond à l' absence de couplage (1 u 1 ) et 1 u 2 ) sont états propres de H), e = 7r/2
correspond au couplage maximal (quand la différence d'énergie est nulle Hu -
H 22 = 0).