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Chapitre 4 • La mesure - Postulats (2)
86
état 1 t/I) :
(A)Jif!) = I Proba[mesure de A ~an] an = I l('Pnlt/1)1
2 an = I (t/ll'Pn) an (cpnlt/J).
n
n
n
(4.8)
En utilisant une relation de fermeture, i.e la représentation spectrale de A donnée par
l'équation (3.28), nous constatons que cette somme s'identifie à:
1 (A)1if!> = (t/JIAlt/I) 1
(4.9)
Le calcul de la valeur moyenne quantique ne nécessite pas la connaissance des valeurs
propres et vecteurs propres, comme le laisse penser l'équation (4.8), mais simplement
d'être capable de faire agir l'opérateur A sur le vecteur lt/J).
4.4 ENSEMBLE COMPLET D'OBSERVABLES
QUI COMMUTENT (ECOC)
Observables qui commutent. Soient deux observables A et B représentées par deux
opérateurs A et B commutant : [A, B] = O. Dans ce cas il existe une base de vecteurs
propres commune aux deux opérateurs.
Exercice 4.1 (F) Démontrer cette dernière proposition.
• ECOC
Une manière de déterminer l'état du système consiste à mesurer une observable A. Si
on obtient une des valeurs propres an avec probabilité 1, cela signifie que le système
était dans l'état 1 'Pn ) avant la mesure. Cependant si la valeur propre est dégénérée,
obtenir cette valeur propre ne permet pas de savoir avec certitude quel était l'état
du système : on sait seulement qu' il appartient au sous espace propre g (an) de A
associé à la valeur propre an. C'est uniquement en réalisant la mesure d' une autre
obervable B, commutant avec A, et dont les valeurs propres ne sont pas dégénérées
dans g (an) qu'on peut espérer spécifier sans ambiguïté l'état du système.
Bien entendu il est possible que davantage que 2 observables soient nécessaires
pour lever toutes les ambiguïtés liées aux dégénérescences. C'est le rôle d'un ECOC.
Exemple : Soit un espace de Hilbert de dimension 3 dont une base orthonormée est
{I u1),1 u2) ,1 u3 )}. Considérons l'exemple simple des deux opérateurs A et B représentés par les matrices :
(4.10)
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Chapitre 4 • La mesure - Postulats (2)
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état 1 t/I) :
(A)Jif!) = I Proba[mesure de A ~an] an = I l('Pnlt/1)1
2 an = I (t/ll'Pn) an (cpnlt/J).
n
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(4.8)
En utilisant une relation de fermeture, i.e la représentation spectrale de A donnée par
l'équation (3.28), nous constatons que cette somme s'identifie à:
1 (A)1if!> = (t/JIAlt/I) 1
(4.9)
Le calcul de la valeur moyenne quantique ne nécessite pas la connaissance des valeurs
propres et vecteurs propres, comme le laisse penser l'équation (4.8), mais simplement
d'être capable de faire agir l'opérateur A sur le vecteur lt/J).
4.4 ENSEMBLE COMPLET D'OBSERVABLES
QUI COMMUTENT (ECOC)
Observables qui commutent. Soient deux observables A et B représentées par deux
opérateurs A et B commutant : [A, B] = O. Dans ce cas il existe une base de vecteurs
propres commune aux deux opérateurs.
Exercice 4.1 (F) Démontrer cette dernière proposition.
• ECOC
Une manière de déterminer l'état du système consiste à mesurer une observable A. Si
on obtient une des valeurs propres an avec probabilité 1, cela signifie que le système
était dans l'état 1 'Pn ) avant la mesure. Cependant si la valeur propre est dégénérée,
obtenir cette valeur propre ne permet pas de savoir avec certitude quel était l'état
du système : on sait seulement qu' il appartient au sous espace propre g (an) de A
associé à la valeur propre an. C'est uniquement en réalisant la mesure d' une autre
obervable B, commutant avec A, et dont les valeurs propres ne sont pas dégénérées
dans g (an) qu'on peut espérer spécifier sans ambiguïté l'état du système.
Bien entendu il est possible que davantage que 2 observables soient nécessaires
pour lever toutes les ambiguïtés liées aux dégénérescences. C'est le rôle d'un ECOC.
Exemple : Soit un espace de Hilbert de dimension 3 dont une base orthonormée est
{I u1),1 u2) ,1 u3 )}. Considérons l'exemple simple des deux opérateurs A et B représentés par les matrices :
(4.10)