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3.3. Formalisme de Dirac
• Les valeurs propres sont réelles. Démonstration : (nous admettons que la matrice est diagonalisable, i.e. qu'elle possède N vecteurs propres) soit Àn une valeur
propre et l/J(n) son vecteur propre, i.e. AlfJ(n) = Ànl/J(n) (notons que nous repérons le
vecteur avec un exposant pour éviter la confusion avec les indices repérant les composantes). En conjuguant cette dernière équation nous obtenons l/J(n)t A = À~l/J(n)t
(où nous avons utilisé A = A T). Nous pouvons multiplier la première équation par
le vecteur ligne, par la gauche et la seconde par le vecteur colonne par la droite :
l/J(n)t AlfJ(n) = Ànlll/J(n)ll 2 = A~lll/J(n)ll
2 (la norme dans rr:,N est lll/J(n)ll 2 = l/J(n)t l/J(n)).
D'où Àn =À~. QED.
• Tl existe une base orthonormée de vecteurs propres. Démonstration : Soit Àn et
Àm deux valeurs propres distinctes et l/J(n) et l/J(m) deux vecteurs propres leur étant
associés : Al/J(n) = Ànl/J(n) et l/J(m)t A = Àml/J(m)t. Multiplions la première équation par
l/J(m)t par la gauche et la seconde par l/J(n) par la droite. La différence nous donne
(Àn - Àm)l/J(m)t l/J(n) = O. Deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres
distinctes sont orthogonaux. Lorsqu' une valeur propre dégénérée, il est toujours
possible de choisir les vecteurs propres associés orthogonaux. QED.
• Une matrice hermitique est diagonalisée à l'aide d'une matrice unitaire. Démonstration : l'orthonormalisation des vecteurs propres s'écrit l/J(m)t l/J(n) = Ônm· La matrice regroupant tous ces vecteurs colonnes U = (1/1(1), · · · , l/J(N)) est bien unitaire :
('lJTU)iJ = l/JU)t l/J(J) = ÔiJ· Elle réalise le changement de base diagonalisant la
matrice A:
A = u vut
(3.50)
où D est la matrice diagonale D = diag(A 1 , • • • , ÀN ).
Des propriétés similaires sont discutées en exercice pour les deux cas intéressants des
matrices réelles symétriques (cas particulier de matrice hermitique) et des matrices
unitaires.
• Exemple
Diagonalisons la matrice CF X = ( ~ ~ ). i.e. trouvons les couples (À E lit, if; E C
2 ) qui
satisfont
0-xl/J = Àl/J.
Le polynôme caractéristique est P(A) = det(a-x - Al2)
racines À± = ± 1.
(3.51)
,t 2 - 1. Il possède deux
1. Cherchons le vecteur propre l/J+ associé à À = À+. Écrivons l/JT = (x, y), le
système (3.51 ) donne deux équations identiques (évidemment puisque det(a-xÀ+ 12) = 0) : y = x. Le vecteur propre est donc l/J ! ex: (1, 1 ) .
2. De même, pour À = ,t_, on trouve l/J~ ex: (1, -1). Les deux vecteurs sont orthogonaux, l/J~l/J+ = 0, car la matrice O-x est hermitique.
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• Les valeurs propres sont réelles. Démonstration : (nous admettons que la matrice est diagonalisable, i.e. qu'elle possède N vecteurs propres) soit Àn une valeur
propre et l/J(n) son vecteur propre, i.e. AlfJ(n) = Ànl/J(n) (notons que nous repérons le
vecteur avec un exposant pour éviter la confusion avec les indices repérant les composantes). En conjuguant cette dernière équation nous obtenons l/J(n)t A = À~l/J(n)t
(où nous avons utilisé A = A T). Nous pouvons multiplier la première équation par
le vecteur ligne, par la gauche et la seconde par le vecteur colonne par la droite :
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D'où Àn =À~. QED.
• Tl existe une base orthonormée de vecteurs propres. Démonstration : Soit Àn et
Àm deux valeurs propres distinctes et l/J(n) et l/J(m) deux vecteurs propres leur étant
associés : Al/J(n) = Ànl/J(n) et l/J(m)t A = Àml/J(m)t. Multiplions la première équation par
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distinctes sont orthogonaux. Lorsqu' une valeur propre dégénérée, il est toujours
possible de choisir les vecteurs propres associés orthogonaux. QED.
• Une matrice hermitique est diagonalisée à l'aide d'une matrice unitaire. Démonstration : l'orthonormalisation des vecteurs propres s'écrit l/J(m)t l/J(n) = Ônm· La matrice regroupant tous ces vecteurs colonnes U = (1/1(1), · · · , l/J(N)) est bien unitaire :
('lJTU)iJ = l/JU)t l/J(J) = ÔiJ· Elle réalise le changement de base diagonalisant la
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A = u vut
(3.50)
où D est la matrice diagonale D = diag(A 1 , • • • , ÀN ).
Des propriétés similaires sont discutées en exercice pour les deux cas intéressants des
matrices réelles symétriques (cas particulier de matrice hermitique) et des matrices
unitaires.
• Exemple
Diagonalisons la matrice CF X = ( ~ ~ ). i.e. trouvons les couples (À E lit, if; E C
2 ) qui
satisfont
0-xl/J = Àl/J.
Le polynôme caractéristique est P(A) = det(a-x - Al2)
racines À± = ± 1.
(3.51)
,t 2 - 1. Il possède deux
1. Cherchons le vecteur propre l/J+ associé à À = À+. Écrivons l/JT = (x, y), le
système (3.51 ) donne deux équations identiques (évidemment puisque det(a-xÀ+ 12) = 0) : y = x. Le vecteur propre est donc l/J ! ex: (1, 1 ) .
2. De même, pour À = ,t_, on trouve l/J~ ex: (1, -1). Les deux vecteurs sont orthogonaux, l/J~l/J+ = 0, car la matrice O-x est hermitique.
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