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Chapitre 3 • Formalisme de Dirac - Postulats (1)
80
Finalement, on normalise les vecteurs :
et
1 (-1)
1/1- = V2 1 .
(3.52)
Puisque a-x est réelle symétrique, la matrice U = ( l/f +, !/f-) est orthogonale :
1 (1 -1) (1 0 ) ( 1 1)
(3.53)
La matrice 2 x 2 la plus générale sera diagonalisée au paragraphe 5.1.4.
Exercices
11111$10 Inégalité de Heisenberg généralisée
Considérons trois opérateurs hermitiques A, B et C satisfaisant la relation [A, B] =
i C. En s'inspirant de la démonstration de 1' exercice 3 .12, démontrer la relation de
Heisenberg généralisée
(3.54)
Qlli@U Diagonalisation de matrices
Matrices réelles symétriques. Soit S une matrice réelle symétrique, S = ST, agissant dans peuvent être choisis réels. En déduire que toute matrice réelle symétrique est diagonalisée à l' aide d' une matrice orthogonale 0 (i.e. telle que 0 - 1 = OT): S = ODOT où
D = diag(/l1, · · · , ÀN) est la matrice diagonale regroupant les valeurs propres réelles.
Matrices unitaires. Soit U une matrice unitaire, agissant dans rcN. Montrer qu'il
existe une autre matrice unitaire qu'il existe une matrice hermitique e telle que u = eie.
Q .. ii$1D Boîte quantique bidimensionnelle
Nous considérons l'équation de Schrodinger bidimensionnelle-;,: (:: 2 + :: 2 )l/f(x, y)+
V(x, y)l/f(x, y) = El/f(x, y). Le potentiel est nul dans un rectangle, pour 0 ~ x ~ a et
0 ~ y ~ b, et infini hors du rectangle. Donner le spectre des énergies et les vecteurs
propres associés. Analyser les dégénérescences : en particulier on discutera (i) le cas
a = 2b et (ii) le cas a = b.