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Chapitre 3 • Formalisme de Dirac - Postulats (1)
78
À retenir
Savoir manipuler les notations de Dirac.
Interprétation physique du produit scalaire < Hermiticité des opérateurs représentant des observables physiques.
L'action des opérateurs .X et jJ sur les fonctions d'onde.
La relation de commutation canonique [.X, p] = in (dont découle l'inégalité de
Heisenberg 11xl/!11pt/t ~ ~).
Les calculs de commutateurs.
Produit tensoriel. La notion de problème séparable.
Dégénérescences résultant d' une symétrie vs. dégénérescences accidentelles (exercice 3.13).
Pour en savoir plus
Sur l'introduction des notations de Dirac et l'interprétation probabiliste, recommandons
la lecture de louvrage [35]. On pourra également consulter [14].
ANNEXE 3.A : QUELQUES RAPPELS D'ALGÈBRE
LINÉAIRE
Lorsque l'espace de Hilbert .YC d'un système physique est de dimension N finie, Je
est isomorphe à e,N. Les kets sont représentés par des vecteurs colonnes, 11/f) E Je H
!fi E e,N, les bras par des vecteurs lignes (conjugués des précédents), opérateurs par des matrices, par exemple 11/f >
diagonalisation de matrices.
Spectre d'une matrice
Considérons une matrice A à coefficients complexes de dimension N. Le spectre de
la matrice est donné en résolvant l'équation (A - ÀlN )!fi = 0 où !fi E e,N (l N est
la matrice identité de dimension N). Les valeurs propres sont donc les racines du
polynôme caractéristique P(,l) = det(A - Al N ).
• Matrice hermitique
Puisque les observables physiques sont représentées par des opérateurs hermitiques,
A = At , ce cas joue un rôle particulièrement important.
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Chapitre 3 • Formalisme de Dirac - Postulats (1)
78
À retenir
Savoir manipuler les notations de Dirac.
Interprétation physique du produit scalaire < Hermiticité des opérateurs représentant des observables physiques.
L'action des opérateurs .X et jJ sur les fonctions d'onde.
La relation de commutation canonique [.X, p] = in (dont découle l'inégalité de
Heisenberg 11xl/!11pt/t ~ ~).
Les calculs de commutateurs.
Produit tensoriel. La notion de problème séparable.
Dégénérescences résultant d' une symétrie vs. dégénérescences accidentelles (exercice 3.13).
Pour en savoir plus
Sur l'introduction des notations de Dirac et l'interprétation probabiliste, recommandons
la lecture de louvrage [35]. On pourra également consulter [14].
ANNEXE 3.A : QUELQUES RAPPELS D'ALGÈBRE
LINÉAIRE
Lorsque l'espace de Hilbert .YC d'un système physique est de dimension N finie, Je
est isomorphe à e,N. Les kets sont représentés par des vecteurs colonnes, 11/f) E Je H
!fi E e,N, les bras par des vecteurs lignes (conjugués des précédents), opérateurs par des matrices, par exemple 11/f >
diagonalisation de matrices.
Spectre d'une matrice
Considérons une matrice A à coefficients complexes de dimension N. Le spectre de
la matrice est donné en résolvant l'équation (A - ÀlN )!fi = 0 où !fi E e,N (l N est
la matrice identité de dimension N). Les valeurs propres sont donc les racines du
polynôme caractéristique P(,l) = det(A - Al N ).
• Matrice hermitique
Puisque les observables physiques sont représentées par des opérateurs hermitiques,
A = At , ce cas joue un rôle particulièrement important.