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3.3. Formalisme de Dirac
(cf. section 3.3.4). L'opérateur position Pregroupe deux opérateurs agissant dans chacun des espaces: ' it = Ûx x®ly:'.Ûy l x®Y· Par la suite on omettra les opérateurs identités
et on écrira plus simplement r = îlx .X+ ûy y.
Application 2: État à plusieurs particules. Soit Yéî l'espace de Hilbert pour la particule 1 et 3'12 l'espace des états de la particule 2. Les états à deux particules sont des
produits tensoriels 1 particule 1 : de tels états.
Application 3 : Degrés de liberté internes. Certaines particules possèdent des degrés
de liberté internes, comme le spin (cf. chapitre 8). L'état de la particule dans l'espace
physique est décrit par un vecteur 1 t/f) de f[ft et 1 'état dans 1 ' espace interne par un
autre vecteur lx) de ~pin. L'espace des états est ft1 ® ~pin.
3.3.4 Problèmes séparables
Considérons un problème dont l'espace de Hilbert a la structure Yé1 = Yt;- ® ftfJ,
comme par exemple l' espace de Hilbert d ' une particule se mouvant dans un espace
bidimensionnel. Deux opérateurs Hx et Hy agissent respectivement dans les espaces
fti et fey.
Si l'hamiltonien possède la structure :
(3.46)
le problème est dit «séparable ». Connaissant les spectres de valeurs propres et de
vecteurs propres des hamiltoniens Hx et Hy, il est possible de construire une base
d 'états propres de H (notons que la base d' états propres de H ainsi construite n' est
pas toujours unique). En effet, si nous connaissons 1
couplées, nous avons donc un moyen simple de fabriquer une base d'états propres
factorisés (non intriqués). Du point de vue de la fonction d 'onde, cela signifie qu'elle
se factorise comme:
lJl(P) =(ri !JI)= ((xi ®( yl)(l
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3.3. Formalisme de Dirac
(cf. section 3.3.4). L'opérateur position Pregroupe deux opérateurs agissant dans chacun des espaces: ' it = Ûx x®ly:'.Ûy l x®Y· Par la suite on omettra les opérateurs identités
et on écrira plus simplement r = îlx .X+ ûy y.
Application 2: État à plusieurs particules. Soit Yéî l'espace de Hilbert pour la particule 1 et 3'12 l'espace des états de la particule 2. Les états à deux particules sont des
produits tensoriels 1 particule 1 : de tels états.
Application 3 : Degrés de liberté internes. Certaines particules possèdent des degrés
de liberté internes, comme le spin (cf. chapitre 8). L'état de la particule dans l'espace
physique est décrit par un vecteur 1 t/f) de f[ft et 1 'état dans 1 ' espace interne par un
autre vecteur lx) de ~pin. L'espace des états est ft1 ® ~pin.
3.3.4 Problèmes séparables
Considérons un problème dont l'espace de Hilbert a la structure Yé1 = Yt;- ® ftfJ,
comme par exemple l' espace de Hilbert d ' une particule se mouvant dans un espace
bidimensionnel. Deux opérateurs Hx et Hy agissent respectivement dans les espaces
fti et fey.
Si l'hamiltonien possède la structure :
(3.46)
le problème est dit «séparable ». Connaissant les spectres de valeurs propres et de
vecteurs propres des hamiltoniens Hx et Hy, il est possible de construire une base
d 'états propres de H (notons que la base d' états propres de H ainsi construite n' est
pas toujours unique). En effet, si nous connaissons 1
x E &x et lx )y E fey tels
que Hxl
x ®lx )y
(3.47)
= (Hxl
couplées, nous avons donc un moyen simple de fabriquer une base d'états propres
factorisés (non intriqués). Du point de vue de la fonction d 'onde, cela signifie qu'elle
se factorise comme:
lJl(P) =(ri !JI)= ((xi ®( yl)(l
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