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Chapitre 3 • Formalisme de Dirac - Postulats (1)
76
• Intrication
Nous avons introduit la notion de vecteur produit tensoriel en considérant des vecteurs du type l 'l') = 1 cf>) i © lx h, cependant il est clair que tous les vecteurs de Je
n'ont pas cette forme factorisée. En effet, le principe de superposition nous autorise à
considérer des combinaisons linéaires de tels vecteurs, appelées états « intriqués » :
(3.41)
En général ce type d'états ne pourra pas être factorisé (cela n'est en effet pas possible si (cf> 1 cf>' ) = 0 et (X lx' ) = 0). Pour comprendre plus clairement ce point nous
supposons que les deux espaces de Hilbert possèdent respectivement deux bases orthonormées { 1 Un ) 1} et { 1 Vn h}. Un état quelconque de Je sera de la forme
(3.42)
n,m
L'état ne peut être écrit sous une forme factorisée que dans le cas très particulier
où les composantes ont une forme factorisée 'Pn,m = l/JnXm; on a alors l 'l') =
(Ln l/Jnl Un )1) © ( LmXml Vm h). Autrement dit, la condition de factorisation suppose
que la «matrice» des coordonnées 'Pn,m puisse être écrite comme le produit d'un
vecteur colonne (les l/Jn) par un vecteur ligne (les Xn).
• Produit scalaire
Soit 1 'l') = 1 cf> )i © lx h et 1 'l'') = 1 cf>' )1 © lx' h, alors
< 'l' 1 'l'' > = Ci < cf > 1 © 2' > i © lx' h) = 1 cf>' > .
(3.43)
• Opérateurs
Soient A1 un opérateur agissant dans Ytî et A2 agissant dans Y~. Nous notons 11 ,
resp. 12, l'opérateur identité dans Yéf, resp. Y~. À partir de A1 et A2 nous pouvons
construire des opérateurs agissant dans Je tels que :
ou
Dans la pratique on omettra les opérateurs identités.
Bien sûr on a (A 1 © A2)(1 cf > )1 ©lx )2) = (Ai 1 cf > )1) © (A2lx )2).
etc.
(3.44)
(3.45)
Application 1 : État quantique d'une particule dans un espace bidimensionnel.
Y{ft = Yti © Y~ . Par exemple, 1' état décrivant la particule en r est 1 r) = 1 X) © 1 y)
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76
• Intrication
Nous avons introduit la notion de vecteur produit tensoriel en considérant des vecteurs du type l 'l') = 1 cf>) i © lx h, cependant il est clair que tous les vecteurs de Je
n'ont pas cette forme factorisée. En effet, le principe de superposition nous autorise à
considérer des combinaisons linéaires de tels vecteurs, appelées états « intriqués » :
(3.41)
En général ce type d'états ne pourra pas être factorisé (cela n'est en effet pas possible si (cf> 1 cf>' ) = 0 et (X lx' ) = 0). Pour comprendre plus clairement ce point nous
supposons que les deux espaces de Hilbert possèdent respectivement deux bases orthonormées { 1 Un ) 1} et { 1 Vn h}. Un état quelconque de Je sera de la forme
(3.42)
n,m
L'état ne peut être écrit sous une forme factorisée que dans le cas très particulier
où les composantes ont une forme factorisée 'Pn,m = l/JnXm; on a alors l 'l') =
(Ln l/Jnl Un )1) © ( LmXml Vm h). Autrement dit, la condition de factorisation suppose
que la «matrice» des coordonnées 'Pn,m puisse être écrite comme le produit d'un
vecteur colonne (les l/Jn) par un vecteur ligne (les Xn).
• Produit scalaire
Soit 1 'l') = 1 cf> )i © lx h et 1 'l'') = 1 cf>' )1 © lx' h, alors
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(3.43)
• Opérateurs
Soient A1 un opérateur agissant dans Ytî et A2 agissant dans Y~. Nous notons 11 ,
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construire des opérateurs agissant dans Je tels que :
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Dans la pratique on omettra les opérateurs identités.
Bien sûr on a (A 1 © A2)(1 cf > )1 ©lx )2) = (Ai 1 cf > )1) © (A2lx )2).
etc.
(3.44)
(3.45)
Application 1 : État quantique d'une particule dans un espace bidimensionnel.
Y{ft = Yti © Y~ . Par exemple, 1' état décrivant la particule en r est 1 r) = 1 X) © 1 y)