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3.3. Formalisme de Dirac
n E N* . Si nous prenons la limite classique n ~ 0, nous devons simultanément faire
tendre le nombre quantique n vers l'infini pour garder Pn fini ; le spectre de valeurs de
l'impulsion {pn} devient de plus en plus dense, autrement dit nous perdons trace de
la quantification. C' est 1 'essence du principe de correspondance proposé par Bohr en
1920 : dans la limite des grands nombres quantiques, la physique quantique coïncide
avec la physique classique.
La question du passage du quantique (n fini) au classique (n = 0) est nettement
plus subtile que ce petit paragraphe ne le laisse penser. La difficulté principale est
de comprendre comment « raccorder » des concepts aussi différents que ceux des
mécaniques quantique et classique.
Exercice 3.12 (F) Inégalité de Heisenberg (2.38)
Soit 11/J) un état quantique quelconque. Pour simplifier, on suppose que4 (x)if! = 0 et
(p)if! = O. On définit le polynôme P(A) ~ ll(x + i ~ ,8)1 if! )11
2 . Exprimer P(A) en fonction
de (x
2 )if! et (p
2 )if!. En déduire (2.38).
• Inégalité de Heisenberg temporelle
La description ondulatoire présentée dans le chapitre précédent nous a permi d' obtenir, à partir d' une propriété de la transformation de Fourier, aussi bien 1 ' inégalité de
Heisenberg spatiale !J.x!J.p ~ ~ que l' inégalité temporelle !J.t!J.E ~ ~·Cette symétrie
espace/impul sion~temps/énergie est toutefois brisée dans le formalisme de Dirac
pour la raison que, bien qu' il existe un opérateur « énergie », il n'existe pas « d'opérateur temps ». Ce dernier apparaît comme un paramètre. Cette remarque est à l'origine des difficultés que 1' on rencontre parfois à interpréter 1 ' inégalité de Heisenberg
temporelle (cf. exercice 5.7).
3.3.3 Produits tensoriels
Considérons deux systèmes quantiques dont les espaces de Hilbert sont notés Yéî
et ~ . L'état des deux systèmes est défini par la donnée de deux vecteurs d'état : celui du système 1, 1 cf>) l E 3fî, ainsi que celui du système 2, lx )i E ~. On construit
un vecteur produit tensoriel, noté 1 'F) = 1 cf> ) 1 ® lx )i, décrivant l' état du système
complet. Le ® nous permet donc de « grouper » deux vecteurs éléments de deux espaces distincts. L'espace des vecteurs spécifiant l'état des deux systèmes est l'espace
produit tensoriel, que nous notons & = 3fî ® J'f2.
4. V 11/t ), on peut toujours choisir l' origine des coordonnées de telle sorte que (x)"' = 0 (i.e. faire
agir une translation d'espace permettant de réaliser cette condition). De même, il existe toujours une
transformation de Galilée permettant de se ramener à une situation telle que (jJ)"' = O.
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n E N* . Si nous prenons la limite classique n ~ 0, nous devons simultanément faire
tendre le nombre quantique n vers l'infini pour garder Pn fini ; le spectre de valeurs de
l'impulsion {pn} devient de plus en plus dense, autrement dit nous perdons trace de
la quantification. C' est 1 'essence du principe de correspondance proposé par Bohr en
1920 : dans la limite des grands nombres quantiques, la physique quantique coïncide
avec la physique classique.
La question du passage du quantique (n fini) au classique (n = 0) est nettement
plus subtile que ce petit paragraphe ne le laisse penser. La difficulté principale est
de comprendre comment « raccorder » des concepts aussi différents que ceux des
mécaniques quantique et classique.
Exercice 3.12 (F) Inégalité de Heisenberg (2.38)
Soit 11/J) un état quantique quelconque. Pour simplifier, on suppose que4 (x)if! = 0 et
(p)if! = O. On définit le polynôme P(A) ~ ll(x + i ~ ,8)1 if! )11
2 . Exprimer P(A) en fonction
de (x
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2 )if!. En déduire (2.38).
• Inégalité de Heisenberg temporelle
La description ondulatoire présentée dans le chapitre précédent nous a permi d' obtenir, à partir d' une propriété de la transformation de Fourier, aussi bien 1 ' inégalité de
Heisenberg spatiale !J.x!J.p ~ ~ que l' inégalité temporelle !J.t!J.E ~ ~·Cette symétrie
espace/impul sion~temps/énergie est toutefois brisée dans le formalisme de Dirac
pour la raison que, bien qu' il existe un opérateur « énergie », il n'existe pas « d'opérateur temps ». Ce dernier apparaît comme un paramètre. Cette remarque est à l'origine des difficultés que 1' on rencontre parfois à interpréter 1 ' inégalité de Heisenberg
temporelle (cf. exercice 5.7).
3.3.3 Produits tensoriels
Considérons deux systèmes quantiques dont les espaces de Hilbert sont notés Yéî
et ~ . L'état des deux systèmes est défini par la donnée de deux vecteurs d'état : celui du système 1, 1 cf>) l E 3fî, ainsi que celui du système 2, lx )i E ~. On construit
un vecteur produit tensoriel, noté 1 'F) = 1 cf> ) 1 ® lx )i, décrivant l' état du système
complet. Le ® nous permet donc de « grouper » deux vecteurs éléments de deux espaces distincts. L'espace des vecteurs spécifiant l'état des deux systèmes est l'espace
produit tensoriel, que nous notons & = 3fî ® J'f2.
4. V 11/t ), on peut toujours choisir l' origine des coordonnées de telle sorte que (x)"' = 0 (i.e. faire
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