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Chapitre 3 • Formalisme de Dirac - Postulats (1)
74
• Relation de commutation canonique
Les opérateurs .X et p satisfont :
(3.38)
Tout couple d'opérateurs «canoniquement conjugués »
3 vérifie une relation analogue. Remarquons que cette équation est incompatible avec un espace de Hilbert
des états orbitaux de dimension finie. En raisonnant par l' absurde : supposons
dim .Yt' = N < oo alors la trace de l'équation Tr {[ x, p]} = in Tr { 1} conduit au résultat
absurde 0 = inN. Pour une dimension N = oo, le résultat 0 = i1ioo nous rappelle
seulement que 1 'opération de trace est ici mal définie.
Démonstration de (3.38) : Cette relation doit être vérifiée pour toutes les représentations des opérateurs. Nous avons défini plus haut leur action sur les fonctions d'onde.
Faisons agir le commutateur sur une fonction d'onde quelconque :
(xl[.X,p]l!/t) = (x l[.X,p]!/t) = ([x,p]l/t)(x) = -xin~lft(x) + i1i~(xlft(x)) (3.39)
dx
dx
. dlft(x) .
. dlft(x)
.
= -1n x ~ +in lft(x) +in x ~ = in lft(x). (3.40)
Cette relation est vraie V lft(x), ce qui permet d 'en déduire l' égalité entre opérateurs.
QED.
Un bon exercice, laissé aux soins du lecteur, sera de démontrer la relation de commutation canonique (3.38) en utilisant les représentations des opérateurs dans l'espace des fonctions d 'onde en impulsion (/;(p) (représentations obtenues dans l'exercice 3.6).
• Limite classique n ~ 0
En mécanique quantique, les quantités physiques « position » et « impulsion » sont
représentées par des objets non commutant, éq. (3.38). Toutefois lorsque nous faisons
n ---7 0 nous retrouvons des objets commutants, comme en physique classique (parler
de limite 1i ---7 0 est un raccourci commode ; bien entendu 1i est fixé dans la nature et
se sont les échelles physiques du problème considéré qui seront très grandes devant
le quantum d 'action).
Par exemple, si nous considérons l'exemple du puits infini de largeur a(§ 1.5.3),
2
nous avons vu que l'impulsion est quantifiée Pn = n1in/a ainsi que l' énergie En= f; ,
3. Une autre construction de la théorie quantique aurait pour point de départ d'imposer la relation de
commutation [q, p] = i1ï entre variables canoniquement conjuguées (voir annexe A.l), alors que nous
l'avons ici déduite dans le cadre de la description ondulatoire de Schrodinger et des considérations sur
les fonctions d'onde et leurs transformées de Fourier.
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• Relation de commutation canonique
Les opérateurs .X et p satisfont :
(3.38)
Tout couple d'opérateurs «canoniquement conjugués »
3 vérifie une relation analogue. Remarquons que cette équation est incompatible avec un espace de Hilbert
des états orbitaux de dimension finie. En raisonnant par l' absurde : supposons
dim .Yt' = N < oo alors la trace de l'équation Tr {[ x, p]} = in Tr { 1} conduit au résultat
absurde 0 = inN. Pour une dimension N = oo, le résultat 0 = i1ioo nous rappelle
seulement que 1 'opération de trace est ici mal définie.
Démonstration de (3.38) : Cette relation doit être vérifiée pour toutes les représentations des opérateurs. Nous avons défini plus haut leur action sur les fonctions d'onde.
Faisons agir le commutateur sur une fonction d'onde quelconque :
(xl[.X,p]l!/t) = (x l[.X,p]!/t) = ([x,p]l/t)(x) = -xin~lft(x) + i1i~(xlft(x)) (3.39)
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= -1n x ~ +in lft(x) +in x ~ = in lft(x). (3.40)
Cette relation est vraie V lft(x), ce qui permet d 'en déduire l' égalité entre opérateurs.
QED.
Un bon exercice, laissé aux soins du lecteur, sera de démontrer la relation de commutation canonique (3.38) en utilisant les représentations des opérateurs dans l'espace des fonctions d 'onde en impulsion (/;(p) (représentations obtenues dans l'exercice 3.6).
• Limite classique n ~ 0
En mécanique quantique, les quantités physiques « position » et « impulsion » sont
représentées par des objets non commutant, éq. (3.38). Toutefois lorsque nous faisons
n ---7 0 nous retrouvons des objets commutants, comme en physique classique (parler
de limite 1i ---7 0 est un raccourci commode ; bien entendu 1i est fixé dans la nature et
se sont les échelles physiques du problème considéré qui seront très grandes devant
le quantum d 'action).
Par exemple, si nous considérons l'exemple du puits infini de largeur a(§ 1.5.3),
2
nous avons vu que l'impulsion est quantifiée Pn = n1in/a ainsi que l' énergie En= f; ,
3. Une autre construction de la théorie quantique aurait pour point de départ d'imposer la relation de
commutation [q, p] = i1ï entre variables canoniquement conjuguées (voir annexe A.l), alors que nous
l'avons ici déduite dans le cadre de la description ondulatoire de Schrodinger et des considérations sur
les fonctions d'onde et leurs transformées de Fourier.