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3.3. Formalisme de Dirac
l'opérateur .X (évidemment). En procédant de la même manière à partir de (p/jl)(p) =
< p lfil 1/1) = p( p 11/1) nous obtenons
xlx>=xlx>
plp) = plp).
• Représentation d'un opérateur et éléments de matrice
(3.33)
(3.34)
Un opérateur A agit sur les vecteurs 11/1) de l'espace de Hilbert Je. Il est représenté
par un opérateur Ax agissant sur les fonctions d' onde l/f(x) E §,ou encore par un opérateur Ap agissant sur les fonctions d'onde dans l'espace des impulsions /jl(p) E §.
Par exemple, l'opérateur impulsion A --7 p est représenté dans § par la dérivation,
Ax --7 -in! , et dans § par la multiplication par p, A P --7 p .
Le calcul d'un élément de matrice peut être effectué dans n'importe laquelle des
représentations. Par exemple, à 1 'aide des fonctions d'onde l/f(x) ou /jl(p ), il fait intervenir Ax ou Ap :
on a introduit une relation de fermeture et utilisé < x IAI l/f) = < x 1 Al/f) = (Al/f )(x) =
A xl/f(x). En général on utilisera une notation unique pour A, A x et Ap afin d'alléger.
Exemple 1 : position.
A
A2
Exemple 2 : énergie cinétique, H ein = fm.
(3.37)
Exemple 3 : position et impulsion dans la base { 1 x)}. L'opérateur position est diagonal
dans la base des états localisés spatialement, ce qui prend la forme < x' l.XI X> = X o(xx'). Les éléments de matrice de l'opérateur impulsion s'expriment comme< x' lfil x) =
~o(x - x') ddx , où la présence de la dérivée nous rappelle que l' opérateur p n'est pas
diagonal dans la base { 1 x)}.
Exercice 3.11 (F) Calculer < l/f IHcin 11/1) pour la fonction d'onde gaussienne l/f(x) =
N exp - {: 2 (déterminer d ' abord la constante de normalisation N).
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