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N
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.......
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O'l
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> a.
0
u
Chapitre 3 • Formalisme de Dirac - Postulats (1)
72
• Retour sur les représentations en espace et en impulsion
Nous allégeons les notations introduites ci-dessus : nous notons le vecteur décrivant
la particule localisée en xo comme 1 xo) (qui correspond à la fonction d'onde Çx 0 (x)).
D'autre part nous notons lp) le vecteur représentant l'état d'impulsion p (associé à
la fonction d'onde p(x)).
La sim lification de notation consiste donc, pour l'état localisé s atialement en
1 Çx) ~ 1 x) , et pour l'état localisé dans l'espace des impulsions 1 p) ~ 1 p) .
Cette simplification de notation se fait au prix d'une petite arnbiguHé typique chez
les physiciens, qui consiste à spécifier le sens physique d' une quantité (1 x) ou 1 p)) à
1' aide de la lettre utilisée pour la variable, en principe muette (x ou p ).
D'après notre interprétation physique du produit scalaire, ( x 1 If!) a le sens de
«l'amplitude de probabilité pour qu'étant dans l'état l!/J), la particule soit observée
dans 1 'état 1 x), i.e. en x. » C'est bien la fonction d'onde :
1 !/J( X) = ( X 1 !/J) 1
(3.29)
De même (pl!/J) désigne « l'amplitude de probabilité pour qu' étant dans l'état l!/J),
le système soit observé dans l'état IP ), i.e. avec une impulsion p .» C'est la fonction
d'onde dans l'espace des impulsions :
l l/t(p) = < p 1 If! ) 1
(3.30)
Donnons une relecture de la relation entre la fonction d'onde !f!(x) et sa transformée
de Fourier l/t(p). Nous partons du vecteur 1 If!) et nous introduisons la relation de
fermeture J dxlx)(xl = 1:
1 !/J ) = 1 X 1 !/J ) = J dx 1 X ) ( X 1 !/J ) .
'--v-'
"--v-'
J dx 1x )(x1
l/f(x)
(3.31)
Nous multiplions l'équation à gauche par ( p 1 :
( p 1 !/J ) = J dx ( p 1 X ) ( X 1 !/J ) l/t(p) = J dx e-ipx/lï !f!(x) (3.32)
Y2J(ii
où nous avons utilisé 1' expression de 1' onde plane ( x 1 p) = -
1
- eipx/lï. Dans les
-M
notations de Dirac, la transformée de Fourier prend bien le sens du passage des coordonnées dans la base { 1 x)} aux coordonnées dans la base { 1 p ) } .
• Vecteurs propres des opérateurs .X et p
L'équation (3.8), (x!f!)(x) = ( x lil If!) = x( x 1 If!), étant vraie quel que soit le vecteur,
nous pouvons simplifier par le ket 1 If!) : le vecteur 1 x) est donc le vecteur propre de
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Chapitre 3 • Formalisme de Dirac - Postulats (1)
72
• Retour sur les représentations en espace et en impulsion
Nous allégeons les notations introduites ci-dessus : nous notons le vecteur décrivant
la particule localisée en xo comme 1 xo) (qui correspond à la fonction d'onde Çx 0 (x)).
D'autre part nous notons lp) le vecteur représentant l'état d'impulsion p (associé à
la fonction d'onde p(x)).
La sim lification de notation consiste donc, pour l'état localisé s atialement en
1 Çx) ~ 1 x) , et pour l'état localisé dans l'espace des impulsions 1 p) ~ 1 p) .
Cette simplification de notation se fait au prix d'une petite arnbiguHé typique chez
les physiciens, qui consiste à spécifier le sens physique d' une quantité (1 x) ou 1 p)) à
1' aide de la lettre utilisée pour la variable, en principe muette (x ou p ).
D'après notre interprétation physique du produit scalaire, ( x 1 If!) a le sens de
«l'amplitude de probabilité pour qu'étant dans l'état l!/J), la particule soit observée
dans 1 'état 1 x), i.e. en x. » C'est bien la fonction d'onde :
1 !/J( X) = ( X 1 !/J) 1
(3.29)
De même (pl!/J) désigne « l'amplitude de probabilité pour qu' étant dans l'état l!/J),
le système soit observé dans l'état IP ), i.e. avec une impulsion p .» C'est la fonction
d'onde dans l'espace des impulsions :
l l/t(p) = < p 1 If! ) 1
(3.30)
Donnons une relecture de la relation entre la fonction d'onde !f!(x) et sa transformée
de Fourier l/t(p). Nous partons du vecteur 1 If!) et nous introduisons la relation de
fermeture J dxlx)(xl = 1:
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Nous multiplions l'équation à gauche par ( p 1 :
( p 1 !/J ) = J dx ( p 1 X ) ( X 1 !/J ) l/t(p) = J dx e-ipx/lï !f!(x) (3.32)
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où nous avons utilisé 1' expression de 1' onde plane ( x 1 p) = -
1
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-M
notations de Dirac, la transformée de Fourier prend bien le sens du passage des coordonnées dans la base { 1 x)} aux coordonnées dans la base { 1 p ) } .
• Vecteurs propres des opérateurs .X et p
L'équation (3.8), (x!f!)(x) = ( x lil If!) = x( x 1 If!), étant vraie quel que soit le vecteur,
nous pouvons simplifier par le ket 1 If!) : le vecteur 1 x) est donc le vecteur propre de