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3.3. Formalisme de Dirac
Exercice 3.9 (F) Conjuguer a< cf> IAI t/t >
• Opérateur hermitique (ou auto-adjoint)
A est appelé un opérateur hermitique si A = At . Les observables physiques sont
représentées par des opérateurs hermitiques agissant dans l'espace de Hilbert (pour
une justification physique, cf. note de bas de page numéro 6 page 14 et le chapitre 4).
• Spectre d'un opérateur
Soit A un opérateur. 1 i.p) E Yt1 est un vecteur propre associé à la valeur propre A E C
s'il satisfait l'équation A 1 i.p) = Al i.p).
Si A est hermitique, ses valeurs propres sont réelles et il est possible de choisir les
vecteurs propres afin qu'ils forment une base orthonormée. L'ensemble des couples
de valeurs propres et vecteurs propres {an, 11.fJn ) } , avec A 11.fJn ) = an 11.fJn ) , est appelé le
spectre de 1 'opérateur A (parfois on appelle «spectre » 1' ensemble des valeurs propres
seulement).
Nous faisons quelques rappels d' algèbre linéaire dans l'annexe 3.A. En particulier
comment trouver le spectre.
• Représentation spectrale d'un opérateur hermitique
Lorsque l'opérateur est hermitique, ses vecteurs propres forment une base orthonormée et nous pouvons écrire une relation de fermeture ~n 11.fJn >< 1.fJn 1 = 1. En faisant
agir A sur les deux membres nous obtenons une représentation de l' opérateur en
terme de ses valeurs propres et vecteurs propres 2 :
(3.28)
n
Exercice 3.10 (MF) Soit f (x) une fonction. Utiliser la représentation spectrale pour
montrer que l'opérateur f(A) admet les mêmes vecteurs propres que A. Quelles sont
les valeurs propres de f (A) ?
2. Si l'opérateur n'est pas hermitique (ou une fonction d' un opérateur hermitique comme un opérateur
unitaire) mais tout de même diagonalisable, la décomposition est plus compliquée puisqu'à chaque
valeur propre est associé un couple de vecteurs propres droit et gauche : Al D 11 ) = an l Dn ) et ( G 11 IA =
an( Gn 1 qu' on peut choisir tels que ( G 11 I Dm) = 0 11111 (ces deux vecteurs ne sont en général pas reliés par
une simple conjugaison hermitique). Dans ce cas A = In an l Dn )( Gn 1.
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• Opérateur hermitique (ou auto-adjoint)
A est appelé un opérateur hermitique si A = At . Les observables physiques sont
représentées par des opérateurs hermitiques agissant dans l'espace de Hilbert (pour
une justification physique, cf. note de bas de page numéro 6 page 14 et le chapitre 4).
• Spectre d'un opérateur
Soit A un opérateur. 1 i.p) E Yt1 est un vecteur propre associé à la valeur propre A E C
s'il satisfait l'équation A 1 i.p) = Al i.p).
Si A est hermitique, ses valeurs propres sont réelles et il est possible de choisir les
vecteurs propres afin qu'ils forment une base orthonormée. L'ensemble des couples
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seulement).
Nous faisons quelques rappels d' algèbre linéaire dans l'annexe 3.A. En particulier
comment trouver le spectre.
• Représentation spectrale d'un opérateur hermitique
Lorsque l'opérateur est hermitique, ses vecteurs propres forment une base orthonormée et nous pouvons écrire une relation de fermeture ~n 11.fJn >< 1.fJn 1 = 1. En faisant
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montrer que l'opérateur f(A) admet les mêmes vecteurs propres que A. Quelles sont
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2. Si l'opérateur n'est pas hermitique (ou une fonction d' un opérateur hermitique comme un opérateur
unitaire) mais tout de même diagonalisable, la décomposition est plus compliquée puisqu'à chaque
valeur propre est associé un couple de vecteurs propres droit et gauche : Al D 11 ) = an l Dn ) et ( G 11 IA =
an( Gn 1 qu' on peut choisir tels que ( G 11 I Dm) = 0 11111 (ces deux vecteurs ne sont en général pas reliés par
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