-0
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 3 • Formalisme de Dirac - Postulats (1)
70
Exercice 3.7 (F) Considérons un espace de Hilbert de dimension 3 dont une base
orthonormée est {I u1),1 u2 ), 1 u3 )} .
a) Écrire le vecteur colonne associé à 11/1) = N(I u1 ) - 2il u3) ). Calculer N pour que
le vecteur soit normé. Quel objet est associé au bra ( l/f I ?
b) On introduit lx)= 0(il u 1 ) + 1 u2 )). Calculer le produit scalaire (l/llx).
c) Écrire la matrice représentant l'opérateur A = il u1 )( u3 I + 1 u2 )( u2 I - il u3 )( u11.
Vérifier que la matrice est hermitique. Diagonaliser la matrice.
• Commutateur
Soient deux opérateurs A et B agissant dans Je, nous définissons le commutateur
comme:
[A, B] ~AB - BA .
(3.20)
Si le commutateur est nul on dit que «les opérateurs commutent » : [A, B] = 0 ==>
AB= BA.
Exercice 3.8 (F) Démontrer la relation (très utile): [AB, C] = A[B, C] +[A, C]B.
Déduire des relations analogues pour [ABC, D] puis [AB, CD].
• Conjugaison hermitique
Soit A un opérateur agissant dans Je. L' opérateur conjugué hermitique est noté At.
Il est défini par :
(3.21)
Autrement dit :
1 < l/f IA l 'P ) * = ( 'P IA t 11/1 ) 1
(3.22)
Si on note ( l/f 1 IA l 1/12 ) = A 12 1' élément de matrice, la conjugaison hermitique agit
comme la transposition combinée à la conjugaison complexe : (A t )12 = (A21 )*.
• Propriétés. Soient a E (At )t =A, (A+ B)t =A t + Bt, (aA)t =a* At.
• La conjugaison hermitique agit donc sur les objets suivants comme :
*
(3.23)
ŒHŒ
11/f ) H (!/fi
(3.24)
A HAt
(3.25)
11/1 >< 1/11
(3.26)
ABC H c t Bt At
(3.27)