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3.3. Formalisme de Dirac
d'états {li/li)} l'opérateur A est représenté par la matrice:
(3.15)
···11/!j)···
Produit d'opérateurs. L'opérateur produit entre deux opérateurs A et B se défi.nit
comme : (AB)l 1/1) = A(BI 1/1) ).
Dernière remarque : Un opérateur fait correspondre à un ket un autre ket. L'objet
obtenu en multipliant un ket par un bra (attention à 1' ordre !) 11/1)(X1 est donc un
opérateur (alors que ( l/J lx) est un nombre). En effet, faisons agir 11/1)(X1 sur un
vecteur:
(11/1 > = 11/1 > = 11/1 >
(3.16)
"--v--"
EC
La dernière permutation est licite car (X 1 vecteur, QED. Cette petite manipulation suggère la puissance des notations de Dirac.
• Projecteur
Soit 11/1 ) E Je, 1' opérateur
llifi ~11/1)(1/11
(3.17)
est le projecteur sur le vecteur 11/1) (on peut s'en convaincre très facilement si on
repense à l'analogie avec lll/l lX) = (l/llx)ll/I) =(composante de lx) sur 11/J ))xvecteur 11/J).
On vérifie facilement que llifi est idempotent (llJ = llifi).
• Relation de fermeture
Soit {I Un)} une base orthonormée de J'f7, i.e. ( Un 1 Un' ) = Ôn,n', l'identité peut être
représentée comme une somme de projecteurs sur les vecteurs de base :
(3.18)
n
Dans le cas d'une base continue { 1 Ua ) } , la relation de fermeture prend naturellement
la forme:
J da 1 Ua )( Ua 1 = 1.
(3.19)
Ces relations, qui sont équivalentes à (3.3, 3.5), se révèleront très utiles.
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