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l.J)
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N
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.......
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CJl
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> a.
0
u
Chapitre 3 • Formalisme de Dirac - Postulats (1)
68
selon la condition : ( ua 1 ua') = ô(a - a'), où a est un paramètre continu indiçant les
états (l'impulsion dans le cas des ondes planes).
Conséquence : Considérons un système dans un état quantique 11/!) = a 1u1)+b1 u2)
où les deux états 1 u1) et 1 u2) sont orthogonaux (on doit donc avoir lal 2 + lbl 2 = 1).
Les coefficients a et b sont les amplitudes de probabilité de se trouver respectivement
dans les états 1 u1 ) et 1 u2 ).
• Vecteur dual - Ket et Bra
Nous avons introduit la notation ( l 'P) pour le produit scalaire de deux vecteurs
d'état. De même que le produit scalaire vtw entre deux vecteurs colonne V et W de
c_N se sépare en un vecteur ligne complexe conjugé (le dual) et le vecteur colonne, les
notations de Dirac reposent sur l'idée de noter le vecteur et son dual comme ( 1
• Le produit scalaire est donc le produit d' un bra
par un ket:
(l'P) = <
' - v - ' '-v--" '-v--"
Bracket
Bra
Ket
Il va sans dire qu' il n'y a rien à comprendre dans cette équation.
• Espace de Hilbert de dimension finie
En général l'espace de Hilbert est de dimension infinie. S' il est de dimension finie,
N, il est isomorphe à c_N. Introduisons une base orthonormée {I un) ln= 1 ,. .. ,N, alors les
opérateurs peuvent être représentés par des matrices N x N à coefficients complexes
dans cette base.
3.3.2 Opérateurs linéaires et observables
• Opérateurs linéaires
Un opérateur linéaire A (qui serait représenté par une matrice dans CN) fait correspondre un vecteur à un autre vecteur: 11/!' ) = IAI/!) =Al if!). Il doit satisfaire :
(3.14)
Éléments de matrice. Les éléments de matrice de l'opérateur A sont obtenus en le
«sandwichant » entre un bra et un ket : ( 1/1 1 IAI1/1 2 ) . Autrement dit, dans une base
1. Les termes « bra » et« ket » viennent de la section du mot anglais « bracket » (crochet) désignant le
produit scalaire. Le lecteur troublé par la notation de Dirac pourra toujours se souvenir de l'analogie
avec les vecteurs colonnes de l'espace vectoriel (f, muni du produit scalaire vtw. La structure est la
même. Le symbole t désigne la conjugaison hermitique introduite plus bas.
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Chapitre 3 • Formalisme de Dirac - Postulats (1)
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selon la condition : ( ua 1 ua') = ô(a - a'), où a est un paramètre continu indiçant les
états (l'impulsion dans le cas des ondes planes).
Conséquence : Considérons un système dans un état quantique 11/!) = a 1u1)+b1 u2)
où les deux états 1 u1) et 1 u2) sont orthogonaux (on doit donc avoir lal 2 + lbl 2 = 1).
Les coefficients a et b sont les amplitudes de probabilité de se trouver respectivement
dans les états 1 u1 ) et 1 u2 ).
• Vecteur dual - Ket et Bra
Nous avons introduit la notation ( l 'P) pour le produit scalaire de deux vecteurs
d'état. De même que le produit scalaire vtw entre deux vecteurs colonne V et W de
c_N se sépare en un vecteur ligne complexe conjugé (le dual) et le vecteur colonne, les
notations de Dirac reposent sur l'idée de noter le vecteur et son dual comme ( 1
• Le produit scalaire est donc le produit d' un bra
par un ket:
(l'P) = <
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Bracket
Bra
Ket
Il va sans dire qu' il n'y a rien à comprendre dans cette équation.
• Espace de Hilbert de dimension finie
En général l'espace de Hilbert est de dimension infinie. S' il est de dimension finie,
N, il est isomorphe à c_N. Introduisons une base orthonormée {I un) ln= 1 ,. .. ,N, alors les
opérateurs peuvent être représentés par des matrices N x N à coefficients complexes
dans cette base.
3.3.2 Opérateurs linéaires et observables
• Opérateurs linéaires
Un opérateur linéaire A (qui serait représenté par une matrice dans CN) fait correspondre un vecteur à un autre vecteur: 11/!' ) = IAI/!) =Al if!). Il doit satisfaire :
(3.14)
Éléments de matrice. Les éléments de matrice de l'opérateur A sont obtenus en le
«sandwichant » entre un bra et un ket : ( 1/1 1 IAI1/1 2 ) . Autrement dit, dans une base
1. Les termes « bra » et« ket » viennent de la section du mot anglais « bracket » (crochet) désignant le
produit scalaire. Le lecteur troublé par la notation de Dirac pourra toujours se souvenir de l'analogie
avec les vecteurs colonnes de l'espace vectoriel (f, muni du produit scalaire vtw. La structure est la
même. Le symbole t désigne la conjugaison hermitique introduite plus bas.