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3.3. Formalisme de Dirac
Exercice 3.6 (F) Comment agissent .X et p sur les fonctions d'onde dans l' espace
des impulsions? Déduire l'équation de Schrodinger pour la fonction d'onde dans
l'espace des impulsions in %Jf(p, t) = CH/j;)(p, t). La résoudre dans le cas libre.
3.3 FORMALISME DE DIRAC
3.3.1 Espace de Hilbert et vecteurs d'état
• Espace de Hilbert
Nous allons dorénavant nous passer du choix d 'une représentation particulière. Les
états quantiques sont décrits par des vecteurs d'un espace des états, l'espace de
Hilbert Yfl. La fonction d'onde l/f(x) E § doit donc être comprise comme l'ensemble des «composantes » d' un vecteur 1fJ E Yl1 (la coordonnée spatiale x joue le
rôle d'indice de la composante du vecteur).
• Produit scalaire
L'espace vectoriel des états, construit sur le corps des complexes, est muni d' un produit hermitien. Soit l/J, x E Yfl, le produit scalaire est noté ( l/J lx ) et satisfait la propriété
1 = * 1
(3.10)
Autrement dit : soient œ, fJ E rapport au second argument
(3.11)
et antilinéaire par rapport au premier
(3.12)
Remarquons que ces propriétés découlent de la définition (3.1). Comme tout bon
produit scalaire, il permet de définir une norme (positive) 111/111
2 = ( i/J I if!) et d'autre
part (if! 11/J) = 0 si et seulement si if! est le vecteur nul de 1 'espace de Hilbert.
• Interprétation physique du produit scalaire
Le produit scalaire (i/J lx) s'interprète comme l'amplitude de probabilité pour
qu'étant dans l 'état x, le système soit observé dans l 'état if!. Cette interprétation
s'éclaircira avec la présentation des postulats de mesure.
Normalisation : L'interprétation physique impose de considérer des vecteurs normés
( l/J 1 if!) = l. Gardons toutefois en mémoire que les bases continues sont normalisées
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