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> a.
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Chapitre 3 • Formalisme de Dirac - Postulats (1)
66
3.2.2 Opérateurs linéaires
Les observables physiques (quantités physiques) sont représentées par des opérateurs linéaires hermitiques agissant dans § . Un opérateur A fait correspondre à un
état l/f un nouvel état l/f' = Al/f. Discutons deux exemples importants.
• L'opérateur de position x
Lorsque la particule se trouve localisée spatialement, une unique valeur xo est associée à la position (~xçxo = 0). Agissant sur l'état quantique décrit par la fonction
d'onde gx 0 (x), l'opérateur .X peut donc être remplacé par xo : (.Xgx 0 )(x) = xogx 0 (x)
(autrement dit gx 0 (x) est un état propre de l'opérateur .X pour la valeur propre xo). On
a donc (xgx 0 )(x) = xo ô(x - xo) = xô(x - xo) = xgx 0 (x). Puisque les gx 0 (x) forment
une base, cette dernière égalité nous montre que l'action de l'opérateur position sur
une fonction d'onde quelconque correspond à la multiplication par x :
1 (.Xl/f )(x) = x l/f(x) 1
(3.8)
• L'opérateur d'impulsion p
De la même manière, l'état « onde plane» c/>p(x) est caractérisé par une unique valeur
de l'impulsion : p (i.e. ~Pc/Jp = 0). Agissant sur c/Jp, l'opérateur p peut être substitué
par p: (pc/Jp)(x) = p c/>p(x) = -ind~ ~'d'où en général
(pl/f )(x) = -in~l/f(x)
dx
• Principe de correspondance
(3.9)
Maintenant que nous avons déterminé 1' action des opérateurs pos1t1on et impulsion dans l'espace de Hilbert, le principe de correspondance nous permet de
construire n'importe quelle autre fonction des variables canoniquement conjuguées.
Par exemple l'opérateur répresentant l'énergie est donné en remplaçant x et p dans
la fonction de Hamilton par les opérateurs H(x, p) ~ H(x, p). En cas d'ambiguïté,
si l'énergie contient un terme du type xp qui donnerait un terme non hermitien, on
symétrisera le résultat, i.e. xp ~ ~(xp +px).
Exercice 3.5 (F) Quelle est l'action de l'opérateur « énergie » (l'hamiltonien)
A
"2
A
H
fm + V(x) sur la fonction d' onde (Hl/f)(x)? Quelle forme prend l'équation
in %rl/f(x, t) = (Hl/f)(x, t)?
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Chapitre 3 • Formalisme de Dirac - Postulats (1)
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3.2.2 Opérateurs linéaires
Les observables physiques (quantités physiques) sont représentées par des opérateurs linéaires hermitiques agissant dans § . Un opérateur A fait correspondre à un
état l/f un nouvel état l/f' = Al/f. Discutons deux exemples importants.
• L'opérateur de position x
Lorsque la particule se trouve localisée spatialement, une unique valeur xo est associée à la position (~xçxo = 0). Agissant sur l'état quantique décrit par la fonction
d'onde gx 0 (x), l'opérateur .X peut donc être remplacé par xo : (.Xgx 0 )(x) = xogx 0 (x)
(autrement dit gx 0 (x) est un état propre de l'opérateur .X pour la valeur propre xo). On
a donc (xgx 0 )(x) = xo ô(x - xo) = xô(x - xo) = xgx 0 (x). Puisque les gx 0 (x) forment
une base, cette dernière égalité nous montre que l'action de l'opérateur position sur
une fonction d'onde quelconque correspond à la multiplication par x :
1 (.Xl/f )(x) = x l/f(x) 1
(3.8)
• L'opérateur d'impulsion p
De la même manière, l'état « onde plane» c/>p(x) est caractérisé par une unique valeur
de l'impulsion : p (i.e. ~Pc/Jp = 0). Agissant sur c/Jp, l'opérateur p peut être substitué
par p: (pc/Jp)(x) = p c/>p(x) = -ind~ ~'d'où en général
(pl/f )(x) = -in~l/f(x)
dx
• Principe de correspondance
(3.9)
Maintenant que nous avons déterminé 1' action des opérateurs pos1t1on et impulsion dans l'espace de Hilbert, le principe de correspondance nous permet de
construire n'importe quelle autre fonction des variables canoniquement conjuguées.
Par exemple l'opérateur répresentant l'énergie est donné en remplaçant x et p dans
la fonction de Hamilton par les opérateurs H(x, p) ~ H(x, p). En cas d'ambiguïté,
si l'énergie contient un terme du type xp qui donnerait un terme non hermitien, on
symétrisera le résultat, i.e. xp ~ ~(xp +px).
Exercice 3.5 (F) Quelle est l'action de l'opérateur « énergie » (l'hamiltonien)
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fm + V(x) sur la fonction d' onde (Hl/f)(x)? Quelle forme prend l'équation
in %rl/f(x, t) = (Hl/f)(x, t)?