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3.2. Prélude : espace des fonctions d'onde
L'analogue de (3.3) est bien sûr
J da ua(x) u~(x') = ô(x - x').
(3.5)
Exemple 1 de base continue : ondes planes. Un premier exemple de bases continues
est celui des ondes planes p(x), avec p E R , introduites dans le chapitre précédent
p(x) =
1 eipx/n
Y2ift
(3.6)
décrivant une particule d'impulsion p. On vérifie l'othornormalisation dans l'exercice 3.3.
Exercice 3.3 (MF) En utilisant (2.65), vérifier que les ondes planes (3.6) satisfont
la condition de normalisation _k dx ;(x) p'(x) = ô(p - p').
Exemple 2 de base continue : une particule localisée spatialement. On peut également considérer la base des fonctions d' onde décrivant une particule localisée en
xo ER:
~x 0 (x) = ô(x - xo).
(3.7)
En utilisant (2.56) on vérifie que J dx ~; 0 (x) ~x'o (x) = ô(xo - x~).
Exercice 3.4 (F) Donner l'expression des fonctions d'onde des deux bases précédentes dans l' espace réciproque : if>p 0 (p) et lx 0 (p). Interprétation?
• Analyse dimensionnelle de la fonction d'onde
Base discrète.- Dans le chapitre d'introduction, nous avons attribué à la fonction d'onde tjt(x) le sens d' une amplitude de densité de probabilité. La condition
de normalisation s'écrit L+: dxltjt(x)l
2
= 1. La probabilité de trouver la particule
dans l' intervalle [x, x + dx[ est ltft(x)l
2 dx; la fonction d'onde a donc la dimension
[tjt] = [longueurr
1
1
2 (ou [t/t] = [longueurrd/
2 en dimension d).
Base continue.-Lorsqu' on considère une base continue de fonctions d'onde {t/ta(x)},
indicée par un paramètre continu a, lt/ta(x)l
2 dxda est la probabilité de trouver la particule dans l'intervalle [x , x + dx[ pour une valeur du paramètre dans l' intervalle
[a , a+ da [. La fonction d'onde a alors le sens d'une densité (par unité de a) d'amplitude de densité de probabilité. On a [t/tal = [longueurr
1
1
2 [ar
1
1
2 , ce qu'on vérifi e
aisément à l'aide de (3.4).
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