"'O
0
c
:J
0
lJ)
.-t
0
N
@
.µ
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 3 • Formalisme de Dirac - Postulats (1)
64
3.2.1 Produit scalaire et orthonormalisation
• Produit scalaire
L'espace vectoriel § est muni du produit hermitien
( 'P 11/J) ~· J dx
(3.1)
Soit {un(x)} une base discrète de fonctions d'onde orthonormées. Ses éléments satisfont la condition d'orthonormalisation
J dx u~(x) Un' (x) = Ôn,n'.
(3.2)
La relation de fermeture (ou de « complétude » ), dont nous expliquerons le sens plus
bas, joue un rôle dual
~ Un(X) U~(x') = O(X - X
1
) ,
(3.3)
n
où o(x) est la distribution de Dirac (cf. annexe 2.B).
Décomposition d'un état dans la base : si on considère une fonction d'onde quelconque l/J(x), il existe une décomposition unique l/f(x) = .L:n l/Jn un(x) où les composantes l/Jn sont données par l/Jn = (Un 11/J) = J dx u~(x) l/f(x).
Exercice 3.1 (F) Soient deux fonctions d'onde l/f(x) et x(x), vérifier que le produit
scalaire s'exprime à 1' aide de leurs composantes dans la base {un ( x)} comme ( l/J lx) =
.L:n l/J~n·
Exercice 3.2 (F) Les états stationnaires dans un puits infini sont 'Pn(x) =
.Ji . sin ( n~x ) avec n E N* . Vérifier que ces fonctions forment une base orthornormée
pour les fonctions continues définies sur [0, a]. I.e. vérifier que foa dx 'Pn(x)
• Orthonormalisation des bases continues
Nous aurons également à considérer des bases orthonormées, dont les vecteurs sont
indexés par un paramètre variant continûment, que nous notons ici a. La normalisation s'écrit comme:
J dx U~(x) Ua 1 (X) = O(a - a') .
(3.4)
0
c
:J
0
lJ)
.-t
0
N
@
.µ
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 3 • Formalisme de Dirac - Postulats (1)
64
3.2.1 Produit scalaire et orthonormalisation
• Produit scalaire
L'espace vectoriel § est muni du produit hermitien
( 'P 11/J) ~· J dx
(3.1)
Soit {un(x)} une base discrète de fonctions d'onde orthonormées. Ses éléments satisfont la condition d'orthonormalisation
J dx u~(x) Un' (x) = Ôn,n'.
(3.2)
La relation de fermeture (ou de « complétude » ), dont nous expliquerons le sens plus
bas, joue un rôle dual
~ Un(X) U~(x') = O(X - X
1
) ,
(3.3)
n
où o(x) est la distribution de Dirac (cf. annexe 2.B).
Décomposition d'un état dans la base : si on considère une fonction d'onde quelconque l/J(x), il existe une décomposition unique l/f(x) = .L:n l/Jn un(x) où les composantes l/Jn sont données par l/Jn = (Un 11/J) = J dx u~(x) l/f(x).
Exercice 3.1 (F) Soient deux fonctions d'onde l/f(x) et x(x), vérifier que le produit
scalaire s'exprime à 1' aide de leurs composantes dans la base {un ( x)} comme ( l/J lx) =
.L:n l/J~n·
Exercice 3.2 (F) Les états stationnaires dans un puits infini sont 'Pn(x) =
.Ji . sin ( n~x ) avec n E N* . Vérifier que ces fonctions forment une base orthornormée
pour les fonctions continues définies sur [0, a]. I.e. vérifier que foa dx 'Pn(x)
• Orthonormalisation des bases continues
Nous aurons également à considérer des bases orthonormées, dont les vecteurs sont
indexés par un paramètre variant continûment, que nous notons ici a. La normalisation s'écrit comme:
J dx U~(x) Ua 1 (X) = O(a - a') .
(3.4)