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Exercices
Exercices
tJIM Conditions aux limites généralisées
On considère l'équation de Schrodinger libre en une dimension, EijJ(x) = -;: :: 2 ljJ(x)
pour x E R+ . On impose une condition limite généralisée à l'origine
l./J' (0) = A l./J(O)
(2.72)
Calculer le courant de probabilité à l'origine ; déduire une condition sur le paramètre À. Résoudre l'équation de Schrodinger et discuter les cas limites À = 0 et
À ---7 ±oo.
tJJjlfüiJ Invariance de jauge
En présence d'un champ magnétique B = V x A et d'un champ électrique Ê =
-+
a -+
-V cp - ai A, 1' équation de Schrodinger pour une particule de charge q prend la forme
in%il./J(r , t) = [ - ;,:cv - i*A)
2 + qcp]l./J(r, t). Déduire l'expression du courant de probabilité en présence des potentiels scalaire et vecteur.
On fait subir la transformation suivante à la fonction d'onde l./J(r, t) ---7 l/J(r, t) =
l./J(r, t) e-ix(r,t). Montrer que l/J(r, t) obéit à une équation de Schrodinger de la même
forme, pour des nouveaux potentiels A et~. Quels sont les champs Ê et B correspondants ? À quoi correspond la transformation des potentiels ?
tJliiifüD Marche de potentiel
Soit le potentiel V(x) = Vo BH(x) décrivant une marche de potentiel.
a) Discuter la nature du spectre et les dégénérescences des états (pour E < V 0 et
E > Vo).
b) On s' intéresse aux états de diffusion d'énergie E = n;,~ < V 0 . Montrer qu'ils sont
de la forme l./J(x) = e+ikx + re - ikx pour x < 0; et pour x > 0? Calculer r et vérifier
en particulier que lrl = 1, ce qu'on interprètera. Justifier physiquement que l'état
stationnaire peut être choisi réel. Tracer soigneusement 1' allure de l./J(x).
c) On considère maintenant les états de diffusion d'énergie E > Vo, incidents de la
gauche, i.e. tels que l./J(x) = e+ikx + re-ikx pour x < 0 et l./J(x) = Be+iKx pour x > O.
Exprimer Ken fonction de E. Calculer r et B (on pourra réutiliser les résultats
de la question b). Déduire les probabilités de transmission T et de réflexion R.
Discuter les limites E/Vo ---7 OO et E ---7 v;.
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On considère l'équation de Schrodinger libre en une dimension, EijJ(x) = -;: :: 2 ljJ(x)
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Calculer le courant de probabilité à l'origine ; déduire une condition sur le paramètre À. Résoudre l'équation de Schrodinger et discuter les cas limites À = 0 et
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tJJjlfüiJ Invariance de jauge
En présence d'un champ magnétique B = V x A et d'un champ électrique Ê =
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forme, pour des nouveaux potentiels A et~. Quels sont les champs Ê et B correspondants ? À quoi correspond la transformation des potentiels ?
tJliiifüD Marche de potentiel
Soit le potentiel V(x) = Vo BH(x) décrivant une marche de potentiel.
a) Discuter la nature du spectre et les dégénérescences des états (pour E < V 0 et
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b) On s' intéresse aux états de diffusion d'énergie E = n;,~ < V 0 . Montrer qu'ils sont
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c) On considère maintenant les états de diffusion d'énergie E > Vo, incidents de la
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Exprimer Ken fonction de E. Calculer r et B (on pourra réutiliser les résultats
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