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Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
60
de l'origine de manière symétrique, nous donnons un sens à l'intégrale, comme nous
l'illustrons maintenant lorsque f(x) = 1 :
( +B dxPP~ = lim ( r-E + ( +B) dx ~ = lim [ ln(E/A) + ln(B/E)] = ln(B/A) .
J _A
x E~o+ J _A J+E
x E~o+
(2.68)
Pris séparemment, chaque morceau d'intégrale diverge logarithmiquement, cependant les deux divergences se compensent.
En écrivant la valeur principale comme «PP~ = limE~o+ eH(l~l-E) » nous rapprochons notre définition de celle de la distribution de Dirac. De la même manière que
nous avons introduit plusieurs définitions possibles de la distribution de Dirac, nous
pouvons proposer d'autres définitions de la partie principale, par exemple
r+B dx f(x) pp~ ~ lim r+B dx f(x) X
(2.69)
J _A
x E~o+ J _A
x2 + E2
ce qui est une manière d'écrire que, lorsque lxl ;::: Eon a «PP~ ~ ~ » mais pour
lxl ~ E, la divergence est régularisée comme« PP~ ~ :Z ».
Exercice 2.1 3 (F) Vérifier que le résultat de l'intégrale L:
8
dxPP~ est le même
pour les deux définitions.
Nous utilisons cette nouvelle définition pour donner un sens à l' intégrale
fo
00 dk eikx. Pour cela nous introduisons un régulateur e-Ek avec E ---7 o+ :
lim (
00
dkeikx-Ek = lim
1 . = lim ( ix + E ) .
E~o+ Jo
E~o+ E - ix E~o+ x 2 + E2 x2 + E2
(2.70)
Nous reconnaissons deux définitions possibles pour la partie principale et la distribution de Dirac. D 'où
dkeikx = i PP-+ no(x) =
1
.
L
oo
1
·
O
X
X+ IÛ+
(2.71)
où la notation assez courante « o+ » nous rappelle le régulateur E ---7 o+.