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Ci
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2.3. Inégalités de Heisenberg
Enfin la dernière propriété importante est obtenue en considérant la transformée de
Fourier de la distribution de Dirac. Pour cela nous revenons à la fonction ôE(x), de largeur ~x ~ E et de hauteur 1/E. Sa transformée de Fourier JE(k) est donc une fonction
de largeur ~k ~ 1/E et de hauteur 1 (on a en effet "JE(k = 0) = -~ J dxô€(x) = -~ ·À
v2n
v2n
la limite E ~ 0 nous obtenons "1i(k) = _b-:, ce que nous pouvions directement déduire
v2n
de la définition de la transformation de Fourier et de (2.56). Ce résultat nous montre
que la distribution de Dirac se décompose sur les ondes planes _ ~eikx comme
v2n
ô(x) =
- e
1
kx
l
+oo dk ·
OO
2Jr
(2.65)
C ' est une propriété importante et utile de la distribution de Dirac. Elle nous servira
en particulier à normaliser les ondes planes et plus généralement les bases d'états
continues (prochain chapitre).
Exercice 2.11 (F) À l'aide de cette dernière relation, vérifier que (2.44) est bien la
transformation inverse de (2.43), c'est-à-dire : rt[T[l/f(x)]] = l/f(x).
Exercice 2.12 (MF) La distribution de Dirac dans l'espace tridimensionnel est définie comme ô(t) ~ ô(x)ô(y)ô(z). On rappelle l'équation de Poisson reliant le potentiel
électrostatique et la densité de charges ~ V(t) = - !p(t). Déduire que
2.B.2 Valeur principale
-1
~- = ô(t).
4n r
(2.66)
11 arrive souvent que l'intégrale L:A ct; apparaisse dans les calculs. L'intégrale est mal
définie : elle est divergente, cependant nous aimerions écrire que l'intégrale est nulle
puisque nous intégrons une fonction impaire. La partie principale va nous permettre
de donner un sens rigoureux à cette idée. Soit f (x) une fonction régulière et A, B
deux réels positifs. Nous définissons la distribution « Partie principale » (ou «valeur
principale») P'P~ (ou vp~) par
l
+ B
1
(l-E l + B) 1
dx f(x) P'P- ~ lim+
+
dx f(x) - .
A
X
€---tO
-A
+E
X
(2.67)
La motivation de cette définition est claire : nous retranchons la contribution de l' intervalle [-E, +E] responsable de la divergence de l' intégrale. En coupant le voisinage
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2.3. Inégalités de Heisenberg
Enfin la dernière propriété importante est obtenue en considérant la transformée de
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Exercice 2.11 (F) À l'aide de cette dernière relation, vérifier que (2.44) est bien la
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Exercice 2.12 (MF) La distribution de Dirac dans l'espace tridimensionnel est définie comme ô(t) ~ ô(x)ô(y)ô(z). On rappelle l'équation de Poisson reliant le potentiel
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2.B.2 Valeur principale
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4n r
(2.66)
11 arrive souvent que l'intégrale L:A ct; apparaisse dans les calculs. L'intégrale est mal
définie : elle est divergente, cependant nous aimerions écrire que l'intégrale est nulle
puisque nous intégrons une fonction impaire. La partie principale va nous permettre
de donner un sens rigoureux à cette idée. Soit f (x) une fonction régulière et A, B
deux réels positifs. Nous définissons la distribution « Partie principale » (ou «valeur
principale») P'P~ (ou vp~) par
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La motivation de cette définition est claire : nous retranchons la contribution de l' intervalle [-E, +E] responsable de la divergence de l' intégrale. En coupant le voisinage
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