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O'l
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> a.
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Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
58
• Propriétés
Nous discutons maintenant quelques propriétés que nous pouvons aisément prouver
en utilisant (2.56). Nous vérifions que la distribution est paire
ô(-x) = ô(x).
(2.59)
Lors d'une dilatation d'un facteur 1/A, où À E R*, la distribution est transformée selon
1
ô(Ax) = IAI ô(x).
(2.60)
Cette propriété nous montre que si nous attribuons une dimension à la variable x,
alors la distribution a la dimension inverse
[o(x)] = [xr
1
(analyse dimensionnelle).
(2.61)
Dans certaines situations, il peut arriver que la distribution de Dirac ait pour argument une fonction f(x). Notons xi les racines de la fonction, f(xi) = O. En utilisant (2.60) au voisinage de chaque zéro de la fonction nous obtenons
ô(f(x)) =
I ô(x - Xi) = 1 I ô(x - Xi)·
x; t.q. f(x;)=O lf'(xi)I
lf'(x)I x; t.q. f (x;)=O
(2.62)
Exercice 2.10 (MF) Montrer que ô(x
2 ) = 1 ~ 1 ô(x). Indication : Considérer ô(x
2 -x6).
Vérifier que le« peigne de Dirac» peut s'écrire: ô(5i~rrx ) = LnEZ ô(x - n).
Un autre intérêt de la distribution de Dirac est de permettre de donner un sens
à la dérivée d ' une fonction discontinue. Considérons l'exemple de la fonction de
Heaviside
si X > 0
si X= 0
si X< 0
(2.63)
Au sens des fonctions, BH(x) n'est pas continue en x = 0 et donc afortiori n'est pas
dérivable en ce point. Nous pouvons toutefois donner un sens à sa dérivée au sens des
distributions. Pour comprendre cela nous introduisons la fonction eE(x) ~ [ e-x/E+ 1 r
1
[on pourra tracer cette fonction pour différentes valeurs du paramètre E et vérifier que
limE~o+ eE(x) = eH(x)]. On peut facilement vérifier que sa dérivée, cfxeE(x) = ô€(x),
tend vers ô(x) à la limite E ---7 O. La théorie des distributions permet de permuter
limite et dérivation, si bien que
1 e~(x) = ô(x) 1
(2.64)
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Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
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• Propriétés
Nous discutons maintenant quelques propriétés que nous pouvons aisément prouver
en utilisant (2.56). Nous vérifions que la distribution est paire
ô(-x) = ô(x).
(2.59)
Lors d'une dilatation d'un facteur 1/A, où À E R*, la distribution est transformée selon
1
ô(Ax) = IAI ô(x).
(2.60)
Cette propriété nous montre que si nous attribuons une dimension à la variable x,
alors la distribution a la dimension inverse
[o(x)] = [xr
1
(analyse dimensionnelle).
(2.61)
Dans certaines situations, il peut arriver que la distribution de Dirac ait pour argument une fonction f(x). Notons xi les racines de la fonction, f(xi) = O. En utilisant (2.60) au voisinage de chaque zéro de la fonction nous obtenons
ô(f(x)) =
I ô(x - Xi) = 1 I ô(x - Xi)·
x; t.q. f(x;)=O lf'(xi)I
lf'(x)I x; t.q. f (x;)=O
(2.62)
Exercice 2.10 (MF) Montrer que ô(x
2 ) = 1 ~ 1 ô(x). Indication : Considérer ô(x
2 -x6).
Vérifier que le« peigne de Dirac» peut s'écrire: ô(5i~rrx ) = LnEZ ô(x - n).
Un autre intérêt de la distribution de Dirac est de permettre de donner un sens
à la dérivée d ' une fonction discontinue. Considérons l'exemple de la fonction de
Heaviside
si X > 0
si X= 0
si X< 0
(2.63)
Au sens des fonctions, BH(x) n'est pas continue en x = 0 et donc afortiori n'est pas
dérivable en ce point. Nous pouvons toutefois donner un sens à sa dérivée au sens des
distributions. Pour comprendre cela nous introduisons la fonction eE(x) ~ [ e-x/E+ 1 r
1
[on pourra tracer cette fonction pour différentes valeurs du paramètre E et vérifier que
limE~o+ eE(x) = eH(x)]. On peut facilement vérifier que sa dérivée, cfxeE(x) = ô€(x),
tend vers ô(x) à la limite E ---7 O. La théorie des distributions permet de permuter
limite et dérivation, si bien que
1 e~(x) = ô(x) 1
(2.64)