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2.3. Inégalités de Heisenberg
Si nous pouvons intervertir limite et intégrale
2 nous obtenons f(O) J du tp(u), i.e.
lim JdxôE(x) f(x) = f(O).
E~Ü
(2.54)
Nous allons encore plus loin et admettons qu' il est possible de définir limE~ o ôE(x)
indépendamment de l'intégrale. Nous fabriquons ainsi un objet singulier : «infini
en x = 0 et nul partout ailleurs » ! Cette formulation provocatrice est toutefois imprécise : le point important est que, bien qu'elle soit nulle partout sauf à l' origine, le
poids de la distribution y est concentré J dxô(x) = 1. Cet objet n' est pas une fonction
mais une «distribution » , appelée la distribution de Dirac :
(2.55)
L'objet de la théorie des distributions [45] est de montrer qu' il est possible de donner
un sens mathématique précis à cet objet. Pour ce qui nous intéresse il nous suffit de
nous souvenir de la relation fondamentale, dont toutes les propriétés découlent,
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dx ô(x) f (x) = f(O)
(2.56)
Puisque la distribution de Dirac est nulle partout sauf à l'origine, notons qu'on peut
omettre l'intégrale et écrire
ô(x ) f(x) = ô(x) f(O).
(2.57)
Une translation de l'argument de la distribution nous donne
J dx ô(x - a) f(x) = f(a).
(2.58)
Cette propriété nous montre l'intérêt de la distribution de Dirac pour un physicien,
et l' origine physique de la terminologie. Elle nous permet de définir la densité d ' une
quantité physique concentrée en un point. Par exemple si nous considérons une particule ponctuelle de masse m placée sur une ligne en x = a, la densité de masse
correspondante s' écrit µ(x) = m ô(x - a); pour plusieurs masses mi placées en ai, la
distribution de masse est µ(x) = ~i m i ô(x - ai)·
2. On utilise le théorème de convergence dominée : soit fn(x), n E N, une suite de fonctions. Soit une
fonction sommable l/f(x), i.e. telle que J dx ll/f(x)I < oo. Si lf~(x)I < ll/f(x)I V n alors lim 11 --.oo J dx f,,(x) =
J dx lim,Hoo j~(x) .
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(2.54)
Nous allons encore plus loin et admettons qu' il est possible de définir limE~ o ôE(x)
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poids de la distribution y est concentré J dxô(x) = 1. Cet objet n' est pas une fonction
mais une «distribution » , appelée la distribution de Dirac :
(2.55)
L'objet de la théorie des distributions [45] est de montrer qu' il est possible de donner
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Cette propriété nous montre l'intérêt de la distribution de Dirac pour un physicien,
et l' origine physique de la terminologie. Elle nous permet de définir la densité d ' une
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2. On utilise le théorème de convergence dominée : soit fn(x), n E N, une suite de fonctions. Soit une
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