-0
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
56
Exercice 2.8 (MF) Pour illustrer 1 'intérêt de 1 'équation (2.50), calculer la convolution de deux gaussiennes ga(x) et gb(x) où ga(x) ~ -Y 1
2
e-x2/( 2 a
2
).
2rra
ANNEXE 2.8 : DISTRIBUTIONS
Nous introduisons dans cette annexe deux distributions qui seront utiles dans le texte :
la distribution ô de Dirac et la valeur principale. Cette petite introduction ne vise pas
à la rigueur mathématique mais plutôt à «faire sentir» ces notions pour une audience
d'apprentis physiciens. Pour une présentation plus rigoureuse, le lecteur pourra se
reporter à des ouvrages de mathématique [ 45, 6] ou [27] pour une présentation plus
rapide.
2.B.1 Distribution ô(x) de Dirac
• Définitions
Nous introduisons une fonction ~x ~ 1 et de hauteur ~ 1 telle que
l dx (2.51)
Nous utilisons cette fonction pour construire une fonction de largeur E et de hauteur l/E:
donc l dxôi:(x) = 1.
(2.52)
On peut vérifier que plusieurs candidates possibles pour porte n1;2(x) = BH(l/2 - lxl); ii) la fonction en toile de tente ~e-lxl ; iii) la fonction
sinus cardinal l sin x ; iv) la lorentzienne L(x) = l -
2
1
1
; v) ou encore la gaussienne
rr x
rr x+
g1 (x) = -~e-x2 12 .
v2rr
Exercice 2.9 (F) Dessiner l'allure de fonction régulière ayant son maximum en x = a et décroissant rapidement vers zéro :
limx-Hoo Nous considérons maintenant une autre fonction f(x) supposée régulière à l ' origine (il suffit qu'elle soit continue et bornée). Nous calculons
lim Jdxôi:(x) f( x ) = lim Jdu i:~ o
i:~ o
(2.53)