"'O
0
c
::i
0
L()
;c:;
T"-4
-0
0
"
N
"
@
"'
"
"
.µ
"'
..c
·C
Ol
0
:;
ï:::
"'
>"
Cl.
0
0
" "
u
.g
u
"
-0
2 a.
2
.!:!
"
~
-0
0
"
"
Ci
@
2.3. Inégalités de Heisenberg
Exercice 2.7 (F) Calculer les transformées de Fourier de la fonction « porte » :
7ra(x) = ~ si lxl < a/2 et 7ra(x) = 0 si lxl > a/2. Puis de la fonction «toile de
tente» ta(X) = 2
1 ae-lxVa
• La dérivation :
(2.47)
Cette relation suggère l'intérêt de la transformation de Fourier pour résoudre les
équations différentielles linéaires à coefficients constants : dans l'espace de Fourier,
l'équation différentielle prend la forme d'une équation algébrique. Par exemple,
l'équation différentielle L:~=O an!/J(x) = j(x) devient [ L:~=O an(ikr]if/(k) = ](k).
• Égalité de Parseval-Plancherel : Considérons deux fonctions !/J(x) et x(x). On
note leurs transformées de Fourier if/(k) et i(k). Alors
r+oo
r+oo
J_oo dx !/J(x)* x(x) = J_oo dk if/(k)* i(k)
(2.48)
Nous verrons au chapitre 3 que cette relation correspond à écrire le produit scalaire
dans deux bases différentes.
2.0
, .......... '
1........
.. ...... \
:
\ '
.
.·
.' I
0.0
...... '
0
X
,.
'"
\ ..
\ ..
Figure 2.5 - Convolution .
Convolution de la fonction f(x), représentée
tracée en trait continu fin, par une gaussienne
Ba(x) de largeur a pour a = 0 .5 (pointillés)
0.2 (tirets) et 0.05 (ligne continue).
c) Produit de convolution
(f * g)(x) = (g • f)(x) ~ 1:
00
dy f(x - y) g(y)
(2.49)
L'effet de la convolution est illustré sur la figure 2.5. Dans l'espace de Fourier, le
produit de convolution est remplacé par un simple produit :
'F[(f * g)(x)] = Y27r f(k) g(k).
(2.50)
On pourra facilement démontrer toutes ces propriétés à titre d'exercice .
• Transformée de Fourier d'une gaussienne : g1 (x) = -
1
-e-x
2
/
2 ::::} g 1 (k) =
Y21i
55