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l.J)
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N
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.......
..c
O'l
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> a.
0
u
Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
54
intégrale Ln ~ 2 ~ J dkn ; la décomposition de la fonction sur ses composantes
de Fourier prend la forme t.f!(x) = Ln lfrn eik,,x ~ 2 ~ J dkn ~ lfr(kn) eiknx =
_1_ i+oo dk 1l1(k ) eik,,x .
..f21r _ 00
n 'f' n
Exercice 2.6 (F) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction « dents de scie »
s(x) = x pour x E [-L/2, L/2].
2.A.2 Transformation de Fourier
a) Définition
Soit t.f!(x) une fonction sommable sur R
1
, sa transformée de Fourier est définie
comme:
1 L+oo
.
l/J(k) = '.F[l/f(x)] ~ _ ~
dx t.f!(x) e-ikx.
v2Jr -OO
(2.43)
La transformée de Fourier inverse
1 L+oo
.
l/f(x) = r t [lfr(k)] = - ~
dk lfr(k) e
1
kx
v2Jr - OO
(2.44)
exprime la décomposition de la fonction t.f!(x) sur une base d'ondes planes eikx , tout
comme un vecteur d'un espace vectoriel peut se décomposer sur une certaine base
(rappelons que l'espace des fonctions forme un espace vectoriel). La transformée de
Fourier l/J(k) s'interprète comme la composante de t.f!(x) sur le vecteur eikx.
On pourra trouver des informations sur la transformation de Fourier des fonctions
et des di stributions dans la référence [6, tome 2].
b) Quelques propriétés
• Linéarité : Soit œ, f3 E R et f et g deux fonctions
'.F[œf(x) + f3g(x)] = œf(k) + f3g(k).
(2.45)
• Si la fonction t.f!(x) a une largeur ~x, la largeur de sa transformée de Fourier est
inversement proportionnelle : ~k ~ 1/ ~x. Pour a E R +
'.F[l/f(x/a)] = a lfr(ka).
(2.46)
Cette propriété joue un rôle particulièrement important en mécanique quantique
(cf. § 2.3 sur les inégalités de Heisenberg).
1. Une fonction sommable, l/f(x) E .L.:
1
(JR), est une fonction Lebesgue intégrable telle que
L':: dxll/f(x)I < oo. Cette condition assure l'existence de la transformée de Fourier et que 'F 1 [t,Ïf(k) ] =
l/f(x) presque partout. La théorie des distributions, en introduisant des objets plus singuliers comme la
distribution de Dirac ou la valeur principale, permet de manipuler la transformée de Fourier de fonctions
qui ne sont pas sommables sur JR.
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Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
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intégrale Ln ~ 2 ~ J dkn ; la décomposition de la fonction sur ses composantes
de Fourier prend la forme t.f!(x) = Ln lfrn eik,,x ~ 2 ~ J dkn ~ lfr(kn) eiknx =
_1_ i+oo dk 1l1(k ) eik,,x .
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Exercice 2.6 (F) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction « dents de scie »
s(x) = x pour x E [-L/2, L/2].
2.A.2 Transformation de Fourier
a) Définition
Soit t.f!(x) une fonction sommable sur R
1
, sa transformée de Fourier est définie
comme:
1 L+oo
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l/J(k) = '.F[l/f(x)] ~ _ ~
dx t.f!(x) e-ikx.
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(2.43)
La transformée de Fourier inverse
1 L+oo
.
l/f(x) = r t [lfr(k)] = - ~
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(2.44)
exprime la décomposition de la fonction t.f!(x) sur une base d'ondes planes eikx , tout
comme un vecteur d'un espace vectoriel peut se décomposer sur une certaine base
(rappelons que l'espace des fonctions forme un espace vectoriel). La transformée de
Fourier l/J(k) s'interprète comme la composante de t.f!(x) sur le vecteur eikx.
On pourra trouver des informations sur la transformation de Fourier des fonctions
et des di stributions dans la référence [6, tome 2].
b) Quelques propriétés
• Linéarité : Soit œ, f3 E R et f et g deux fonctions
'.F[œf(x) + f3g(x)] = œf(k) + f3g(k).
(2.45)
• Si la fonction t.f!(x) a une largeur ~x, la largeur de sa transformée de Fourier est
inversement proportionnelle : ~k ~ 1/ ~x. Pour a E R +
'.F[l/f(x/a)] = a lfr(ka).
(2.46)
Cette propriété joue un rôle particulièrement important en mécanique quantique
(cf. § 2.3 sur les inégalités de Heisenberg).
1. Une fonction sommable, l/f(x) E .L.:
1
(JR), est une fonction Lebesgue intégrable telle que
L':: dxll/f(x)I < oo. Cette condition assure l'existence de la transformée de Fourier et que 'F 1 [t,Ïf(k) ] =
l/f(x) presque partout. La théorie des distributions, en introduisant des objets plus singuliers comme la
distribution de Dirac ou la valeur principale, permet de manipuler la transformée de Fourier de fonctions
qui ne sont pas sommables sur JR.