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2.3. Inégalités de Heisenberg
Les inégalités de Heisenberg (2.38) et (2.40).
Pour en savoir plus
Les idées présentées dans la section 2.1.4.a peuvent être généralisées pour des potentiels
arbitraires : par exemple, cf. chapitre 16 de [ 17].
L'ouvrage [35] offre une di scussion physique intéressante des inégalités de Heisenberg.
Sur les problèmes d' interprétation des inégalités de Heisenberg, on pourra se reporter au
chapitre 5 de [41 ].
ANNEXE 2.A : TRANSFORMATION DE FOURIER
Les solutions harmoniques (ondes planes) jouent un rôle central dans un grand
nombre de problèmes physiques ou mathématiques (la résolution d'équations différentielles linéaires à coefficients constants par exemple). La transformation de Fourier
est 1' outil mathématique permettant de décomposer une fonction quelconque comme
une somme (continue) de fonctions harmoniques. Pour donner un exemple concret en
physique, si l'on mesure un signal électromagnétique E(t), une information cruciale
est de connaître sa décomposition sur des ondes planes : E(t) = Lw Ew e - iwr . Dans
de nombreuses situations, c'est l'analyse spectrale, i.e. des Ew, qui révèle des informations physiques sur le système interagi ssant avec le champ électromagnétique (par
exemple sur la température d'une étoile émettant le rayonnement, ou sur la nature des
atomes d'un gaz).
2.A.1 Séries de Fourier (transformation de Fourier discrète)
Une fonction complexe lf!(x) définie sur un intervalle [-L/2 , L/2 ] (ou une fonction
périodique sur JR., de période L) peut être décomposée sous forme d'une série de
Fourier:
lf!(x) = I lfrn eik,, x
nEZ
, k ~ 2nn
OU n - -
.
L
Les coefficients de Fourier sont donnés par :
- L+L/2 dx
.
lf!n =
- lf!(x) e-1k11x.
- L/2 L
(2.41)
(2.42)
Si nous augmentons L, le spectre des fréquences kn = 2nn/L devient alors
de plus en plus dense. À la limite L ~ oo les formules précédentes correspondent à la décomposition d' une fonction !/J(x) définie sur JR.. Discutons précisément cette limite : on remplace les composantes par une fonction (/J(kn) ~
L -
1 ~~2
.k
...fbilf!n = ...fbi )- L/ 2 dxlf!(x)e1
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11 x. La somme sur les kn est remplacée par une
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Les inégalités de Heisenberg (2.38) et (2.40).
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Les idées présentées dans la section 2.1.4.a peuvent être généralisées pour des potentiels
arbitraires : par exemple, cf. chapitre 16 de [ 17].
L'ouvrage [35] offre une di scussion physique intéressante des inégalités de Heisenberg.
Sur les problèmes d' interprétation des inégalités de Heisenberg, on pourra se reporter au
chapitre 5 de [41 ].
ANNEXE 2.A : TRANSFORMATION DE FOURIER
Les solutions harmoniques (ondes planes) jouent un rôle central dans un grand
nombre de problèmes physiques ou mathématiques (la résolution d'équations différentielles linéaires à coefficients constants par exemple). La transformation de Fourier
est 1' outil mathématique permettant de décomposer une fonction quelconque comme
une somme (continue) de fonctions harmoniques. Pour donner un exemple concret en
physique, si l'on mesure un signal électromagnétique E(t), une information cruciale
est de connaître sa décomposition sur des ondes planes : E(t) = Lw Ew e - iwr . Dans
de nombreuses situations, c'est l'analyse spectrale, i.e. des Ew, qui révèle des informations physiques sur le système interagi ssant avec le champ électromagnétique (par
exemple sur la température d'une étoile émettant le rayonnement, ou sur la nature des
atomes d'un gaz).
2.A.1 Séries de Fourier (transformation de Fourier discrète)
Une fonction complexe lf!(x) définie sur un intervalle [-L/2 , L/2 ] (ou une fonction
périodique sur JR., de période L) peut être décomposée sous forme d'une série de
Fourier:
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