-0
0
c
::i
0
L()
r-4
0
N
@
.µ
..c
Ol
ï:::
>
Cl.
0
u
Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
52
position et impulsion (les attributs d'une particule ponctuelle) avec une précision
arbitrairement grande : la question de déterminer simultanément x et p n ' a pas de
sens dans ce cadre, ce qui est lié à la difficulté à associer une position et une impulsion à une onde. Autrement dit, on ne peut pas concevoir d'expérience qui mesurerait simultanément ces deux grandeurs physiques. Repensons à l'expérience d ' Young
(§ 1.5.2.a) soutenant l'idée de dualité onde-corpuscule. La nature corpusculaire est
révélée par une tache sur un écran, mais dans ce cas l'information sur l'impulsion est
perdue. D'autre part la mesure de l'impulsion (i.e. de la longueur d'onde) peut être
effectuée par une expérience de diffraction ou d'interférence dans laquelle l 'onde est
délocalisée. L'analyse de la situation expérimentale montre que les mesures des grandeurs x et p sont incompatibles. L'exercice 2.18, page 62, propose une expérience de
pensée qui illustre cette difficulté. On touche ici aux conséquences de l'abandon du
concept classique de trajectoire : l'inégalité de Heisenberg nous rappelle que l' image
classique d'une particule ponctuelle doit être abandonnée.
Inégalité de Heisenberg temporelle. La forme la plus générale de solution de
l'équation de Schrodinger est une superposition d'états stationnaires. Si on oublie
un instant la dépendance spatiale, ce qui veut dire que l'on étudie l'amplitude de
probabilité en un point en fonction du temps, la fonction d'onde a une dépendance
temporelle qui peut être décomposée sur des ondes planes :
i.f!(t) = J dE l/J(E) e -iEt/n .
(2.39)
Si nous appelons !it la largeur de la fonction i.f!(t) et tiE la largeur de la fonction l/J(E),
nous en déduisons l'inégalité de Heisenberg temporelle :
(2.40)
On trouvera une illustration plus précise de la relation dans les exercices 5.3 et 5.6.
Une conséquence très importante de l'inégalité sera discutée à la fin du livre
(§ 15.2.3.d).
À retenir
Résolution des problèmes où le potentiel est constant par morceaux.
États liés : confinement ~ équation de quantification & quantification de l'énergie.
États de diffu sion ~ spectre continu (solution V E).
Aspects ondulatoires dans le franchissement d' une barrière de potentiel par une particule.
Le sens physique de lf(p).
0
c
::i
0
L()
r-4
0
N
@
.µ
..c
Ol
ï:::
>
Cl.
0
u
Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
52
position et impulsion (les attributs d'une particule ponctuelle) avec une précision
arbitrairement grande : la question de déterminer simultanément x et p n ' a pas de
sens dans ce cadre, ce qui est lié à la difficulté à associer une position et une impulsion à une onde. Autrement dit, on ne peut pas concevoir d'expérience qui mesurerait simultanément ces deux grandeurs physiques. Repensons à l'expérience d ' Young
(§ 1.5.2.a) soutenant l'idée de dualité onde-corpuscule. La nature corpusculaire est
révélée par une tache sur un écran, mais dans ce cas l'information sur l'impulsion est
perdue. D'autre part la mesure de l'impulsion (i.e. de la longueur d'onde) peut être
effectuée par une expérience de diffraction ou d'interférence dans laquelle l 'onde est
délocalisée. L'analyse de la situation expérimentale montre que les mesures des grandeurs x et p sont incompatibles. L'exercice 2.18, page 62, propose une expérience de
pensée qui illustre cette difficulté. On touche ici aux conséquences de l'abandon du
concept classique de trajectoire : l'inégalité de Heisenberg nous rappelle que l' image
classique d'une particule ponctuelle doit être abandonnée.
Inégalité de Heisenberg temporelle. La forme la plus générale de solution de
l'équation de Schrodinger est une superposition d'états stationnaires. Si on oublie
un instant la dépendance spatiale, ce qui veut dire que l'on étudie l'amplitude de
probabilité en un point en fonction du temps, la fonction d'onde a une dépendance
temporelle qui peut être décomposée sur des ondes planes :
i.f!(t) = J dE l/J(E) e -iEt/n .
(2.39)
Si nous appelons !it la largeur de la fonction i.f!(t) et tiE la largeur de la fonction l/J(E),
nous en déduisons l'inégalité de Heisenberg temporelle :
(2.40)
On trouvera une illustration plus précise de la relation dans les exercices 5.3 et 5.6.
Une conséquence très importante de l'inégalité sera discutée à la fin du livre
(§ 15.2.3.d).
À retenir
Résolution des problèmes où le potentiel est constant par morceaux.
États liés : confinement ~ équation de quantification & quantification de l'énergie.
États de diffu sion ~ spectre continu (solution V E).
Aspects ondulatoires dans le franchissement d' une barrière de potentiel par une particule.
Le sens physique de lf(p).