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2.3. Inégalités de Heisenberg
et vis-versa. La constante de Planck fixe une limite inférieure sur le produit des fluctuations quantiques, i.e. des incertitudes de mesure des deux variables conjuguées
(x et p). Dans la description ondulatoire de Schrodinger, c'est une simple propriété
liant une fonction et sa transformée de Fourier, comme nous le constatons dans la
démonstration donnée ci-dessous. On rencontre ce type d' inégalité dans la physique
ondulatoire, quelle que soit la nature du phénomène (optique, acoustique, etc.) [38].
Démonstration de l'inégalité. Considérons une fonction normée l/J(x) (i.e.
J dx ll/J(x)l
2 = 1). On suppose que l/J(x) est telle que (x)t/I = 0 et (p)t/I = 0 (ce
choix est assuré en considérant une fonction d'onde réelle; pour une justification
physique, cf. note 4, page 75). De même que la largeur de la fonction est définie
par L1x~ ~ J dx x
2 11/J(x)l
2 , nous introduisons la largeur de la transformée de Fourier
L1k~ ~ J dkk
2
l~(k)l
2 = J dx[f d~~x)J*[f d~~)] = J dxld~~) l
2 (nous avons utilisé
l'égalité de Parseval-Plancherel).
Nous formons le polynôme P(,t) ~ J dx lx l/J(x) + À d~~x) 1
2
. Étant défini positif, le
discriminant de ce polynôme du second degré en À, P(A) = L1k~ ,1
2 +À+ L1x~, est
négatif: Discriminant= 1 - 4L1~L1k~ ~ O. Nous déduisons L1xt/I L1kt/I ;;::: 1, d'où (2.38)
en utilisant p = nk. Cette inégalité exprime que, si la fonction l/J(x) est étroite, sa
transformée de Fourier ~(k) est large, et vice-versa.
Interprétation énergétique. Revenons sur un point qui a été évoqué dans la section 1.5.3 : nous considérons une particule soumise à un potentiel V(x) confinant, i.e.
E < V(x --? ±oo ), avec un unique minimum (absolu et local), comme par exemple
V(x) oc lx~ avec f3 > O. La minimisation de l' énergie potentielle favorise le confinement (L1x --? 0). L' énergie cinétique est abaissée pour L1p --? 0, ce qui se traduit
par un déconfinement : L1x ~ n/L1p --? oo, d'après l' inégalité de Heisenberg. La minimisation de l'énergie mécanique conduit donc à établir un compromis entre les
deux effets. Nous verrons dans l'exercice 7 .1 ou dans un exemple traité dans la section 13.2, que ce type d' argument permet d'obtenir une bonne estimation de 1 'énergie
du fondamental.
À propos des malentendus sur les inégalités de Heisenberg. On parle parfois de
« principe d' incertitude » pour désigner les inégalités de Heisenberg (en allemand :
« unbestimmtheit », i.e. « indétermination » ). Essayons de dissiper un certain nombre
de confusions et malentendus véhiculés par cette dénomination populaire mais malencontreuse. Tout d 'abord, il ne s'agit pas d' un « principe», puisque nous le démontrons ! Dans l'approche schrodingerienne, l' inégalité n'a rien de mystérieux et coïncide avec une propriété bien connue de la transformation de Fourier [cf. annexe 2.A,
éq. (2.46)] : elle découle donc directement du choix d'une description ondulatoire.
L'inégalité de Heisenberg souligne que la nature des concepts quantiques (la fonction d'onde décrivant l' état de la particule) ne permet pas de définir simultanément
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liant une fonction et sa transformée de Fourier, comme nous le constatons dans la
démonstration donnée ci-dessous. On rencontre ce type d' inégalité dans la physique
ondulatoire, quelle que soit la nature du phénomène (optique, acoustique, etc.) [38].
Démonstration de l'inégalité. Considérons une fonction normée l/J(x) (i.e.
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choix est assuré en considérant une fonction d'onde réelle; pour une justification
physique, cf. note 4, page 75). De même que la largeur de la fonction est définie
par L1x~ ~ J dx x
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Interprétation énergétique. Revenons sur un point qui a été évoqué dans la section 1.5.3 : nous considérons une particule soumise à un potentiel V(x) confinant, i.e.
E < V(x --? ±oo ), avec un unique minimum (absolu et local), comme par exemple
V(x) oc lx~ avec f3 > O. La minimisation de l' énergie potentielle favorise le confinement (L1x --? 0). L' énergie cinétique est abaissée pour L1p --? 0, ce qui se traduit
par un déconfinement : L1x ~ n/L1p --? oo, d'après l' inégalité de Heisenberg. La minimisation de l'énergie mécanique conduit donc à établir un compromis entre les
deux effets. Nous verrons dans l'exercice 7 .1 ou dans un exemple traité dans la section 13.2, que ce type d' argument permet d'obtenir une bonne estimation de 1 'énergie
du fondamental.
À propos des malentendus sur les inégalités de Heisenberg. On parle parfois de
« principe d' incertitude » pour désigner les inégalités de Heisenberg (en allemand :
« unbestimmtheit », i.e. « indétermination » ). Essayons de dissiper un certain nombre
de confusions et malentendus véhiculés par cette dénomination populaire mais malencontreuse. Tout d 'abord, il ne s'agit pas d' un « principe», puisque nous le démontrons ! Dans l'approche schrodingerienne, l' inégalité n'a rien de mystérieux et coïncide avec une propriété bien connue de la transformation de Fourier [cf. annexe 2.A,
éq. (2.46)] : elle découle donc directement du choix d'une description ondulatoire.
L'inégalité de Heisenberg souligne que la nature des concepts quantiques (la fonction d'onde décrivant l' état de la particule) ne permet pas de définir simultanément
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