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Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
2.3 INÉGALITÉS DE HEISENBERG
2.3.1 Moyennes des grandeurs physiques
Considérons une particule dans un état quantique ijf(x). Une mesure de la position de
la particule donne un résultat dans [x, x + dx[ avec probabilité llf!(x)l 2 dx. Si on réalise
un grand nombre de mesures, toujours à partir du même état quantique, la position
moyenne sera donnée par
(x)i/I = J dx llf!(x)l
2 x.
(2.33)
De même, la valeur moyenne quantique de toute fonction de x est donnée par
(f(x))i/I = J dx li/J(x)l
2 f(x).
(2.34)
Les fluctuations des résultats de mesure sont caractérisées par l'écart-type !J.xi/I , la
racine carrée de la variance
A 2 ~ j 2) _ < )2
u.Xi/I - \X i/I
X i/I
(2.35)
On peut également définir une quantité similaire caractérisant les fluctuations des
résultats de mesures de l'impulsion : !J.pi/I . Pour calculer (p)i/I et (p 2 )i/I il est naturel
d'utiliser la fonction d'onde dans l'espace des impulsions :
(p)i/I = J dp li,i/(p)l
2 p .
(2.36)
11 est intéressant de chercher à exprimer l'impulsion moyenne à l'aide de la fonction d'onde dans l'espace réel. Pour cela on utilise la relation de Parseval-Plancherel
(2.48) et la propriété (2.4 7) :
tz I * dijJ(x)
(p)i/I = T dx If! (x) dx '
(2.37)
ce qui revient à« sandwicher» l' opérateur jouant le rôle de l'impulsion introduit plus
haut, p ~ ~ d:' entre ijf* (x) et ijf(x), puis à intégrer. De même on obtient (p 2 )i/I =
J dxijJ*(x) (~d:)2ijJ(x) = tz2 J dxld~x) l2·
·~
2.3.2 Inégalité de Heisenberg
0
u
• Théorème
50
(2.38)
Si nous modifions l'état ijf(x) afin de minimiser les fluctuations de la position de
la particule (!J.x ~ 0), ceIIes sur l' impulsion (!J.p ~ oc) augmentent corrélativement,