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.......
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> a.
0
u
Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
46
d) Barrière de potentiel rectangulaire dans le régime tunnel
Dans ce paragraphe nous considérons la situation d'une particule envoyée depuis l'infini sur une barrière de potentiel : V(x) = Vo > 0 sur [O, a] et V(x) = 0 partout ailleurs
sur R. Nous discutons la situation physique où la particule est incidente de la gauche
avec une énergie inférieure à la barrière E < Vo. Classiquement la particule serait
donc réfléchie avec probabilité Rc1ass = 1. Quantiquement, la solution de 1' équation
de Schrodinger décrit une solution qui traverse la barrière, on parle «d'effet tunnel» :
= teikx
si X< Ü
si 0 < x
(2.25)
(2.26)
(2.27)
où nous avons posé E = ~,~
2 = ;,: (kÜ- q
2 ) avec Vo = li;,~. Une question intéressante
est donc de déterminer avec quelle probabilité la particule traverse la barrière.
Puisque l' équation de Schrodinger est linéaire, e11e ne permet de déterminer la
solution qu' à une constante multiplicative globale près (fixée par la condition de normalisation). Ci-dessus, nous avons fixé le coefficient de l'onde incidente égal à 1 pour
simplifier la di scussion. r et t s'interprètent respectivement comme les amplitudes des
ondes réfléchie et transmise. Les quatre coefficients r, A , B et t peuvent être obtenus
en appliquant les étapes de la méthode générale exposée ci-dessus (§ 2.1.4.a).
Exercice 2.2 (F) Vérifier que le courant de probabilité associé à l'état cp(x) dans les
trois régions est donné par: f lfl = 1ik(l - lrl 2 ) pour x < 0, f lfl = 1iq2Im(B*A) pour
T
m
T
m
0 < x < a et f (f) = ~ltl
2 pour x > a. Identifier les courants incident fine, réfléchi freft
et transmis ftrans (attention aux signes).
• Probabilités de réflexion et de transmission
Le calcul du courant de probabilité dans les différentes régions nous permet de définir
des probabilités de réflexion et de transmission :
R ct;! 1 f ~efl 1
fme
et
(2.28)
Justifions ces expressions : pendant un temps !1t, le nombre moyen de particules
incidentes est Nine = lfine ll1t et le nombre moyen de particules réfléchies Nreft =
lfreflltit. La probabilité pour qu' une particule soit réfléchie est donnée par la fraction
des particules ayant été réfléchies R = Nretl/ Nine = lfretl/ fine 1.
D'après le résultat de l 'exercice précédent on voit donc que les probabilités sont
reliées aux coefficients par R = lrl
2 et T = ltl
2 .
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Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
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d) Barrière de potentiel rectangulaire dans le régime tunnel
Dans ce paragraphe nous considérons la situation d'une particule envoyée depuis l'infini sur une barrière de potentiel : V(x) = Vo > 0 sur [O, a] et V(x) = 0 partout ailleurs
sur R. Nous discutons la situation physique où la particule est incidente de la gauche
avec une énergie inférieure à la barrière E < Vo. Classiquement la particule serait
donc réfléchie avec probabilité Rc1ass = 1. Quantiquement, la solution de 1' équation
de Schrodinger décrit une solution qui traverse la barrière, on parle «d'effet tunnel» :
= teikx
si X< Ü
si 0 < x
(2.25)
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où nous avons posé E = ~,~
2 = ;,: (kÜ- q
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est donc de déterminer avec quelle probabilité la particule traverse la barrière.
Puisque l' équation de Schrodinger est linéaire, e11e ne permet de déterminer la
solution qu' à une constante multiplicative globale près (fixée par la condition de normalisation). Ci-dessus, nous avons fixé le coefficient de l'onde incidente égal à 1 pour
simplifier la di scussion. r et t s'interprètent respectivement comme les amplitudes des
ondes réfléchie et transmise. Les quatre coefficients r, A , B et t peuvent être obtenus
en appliquant les étapes de la méthode générale exposée ci-dessus (§ 2.1.4.a).
Exercice 2.2 (F) Vérifier que le courant de probabilité associé à l'état cp(x) dans les
trois régions est donné par: f lfl = 1ik(l - lrl 2 ) pour x < 0, f lfl = 1iq2Im(B*A) pour
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0 < x < a et f (f) = ~ltl
2 pour x > a. Identifier les courants incident fine, réfléchi freft
et transmis ftrans (attention aux signes).
• Probabilités de réflexion et de transmission
Le calcul du courant de probabilité dans les différentes régions nous permet de définir
des probabilités de réflexion et de transmission :
R ct;! 1 f ~efl 1
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(2.28)
Justifions ces expressions : pendant un temps !1t, le nombre moyen de particules
incidentes est Nine = lfine ll1t et le nombre moyen de particules réfléchies Nreft =
lfreflltit. La probabilité pour qu' une particule soit réfléchie est donnée par la fraction
des particules ayant été réfléchies R = Nretl/ Nine = lfretl/ fine 1.
D'après le résultat de l 'exercice précédent on voit donc que les probabilités sont
reliées aux coefficients par R = lrl
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