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2.1. Équation d'onde - Premières applications
classiquement interdite sur une plus grande distance que l'état fondamental puisque
,
der
I 2 2
q2 < q1 ou qn = -yk 0 - Kn.
Dans la limite koa ~ oo (puits très profond) les solutions correspondent aux positions des asymptotes de cotg, i.e. nous retrouvons les solutions obtenues dans la
section 1.5.3 pour le puits infini : Kn ~ ~lf avec n = 1, 2, 3, · · ·.
c) Illustration n°2 : un problème d'états de diffusion
Nous étudions maintenant les états d'énergie E > 0 (toujours pour le potentiel de la
figure 2.1). La solution sur l'intervalle x E [-a, 0] est toujours de la forme (2.14).
Pour x E [O, oo[ la solution est maintenant de type propagative : (2.15) est remplacée
par
(2.21)
où E = 1i;!
2 = ;: (K
2
+ k6). La fonction d'onde dépend de quatre coefficients A, B , C
et D , pour trois équations de raccordement : l'équation (2.16) et les deux équations
suivantes
A+B=C+D
iK(A - B) = ik(C- D)
(2.22)
(2.23)
[ces deux dernières équations remplacent (2.17,2.18)]. Nous pouvons donc exprimer trois des coefficients en fonction du quatrième, pour toute énergie E E [O, oo[.
L'équation de Schrodinger admet donc une solution VE E [O, oo[; l'énergie n'est
pas quantifiée, on dit que « le spectre des énergies est continu», ou qu'il y a un
continuum d'états.
Nous simplifions le calcul comme précédemment en écrivant
continuité de la dérivée logarithmique, K cotg Ka = ik ~~g, ce qui conduit à
K
·k . K
cter C
cos a + I K sm a
r - - - - - - - - - - -
- D - cos Ka - i * sin Ka·
(2.24)
Nous notons r le rapport des amplitudes. On vérifie que lorsque Vo = 0, r = -e
2
ika,
comme il se doit. On obtient sans difficulté que le courant de probabilité pour x > 0
est donné par l ep = ~~(ICl
2 - IDl
2 ); les deux contributions s'interprètent comme un
courant incident et un courant réfléchi. Le rapport des courants nous donne donc la
probabilité de réflexion R = /~I~ = lrl
2 . L'expression (2.24) montre que la probabilité de réflexion est R = 1 puisque l'onde est complètement réfléchie par le mur en
x = -a. Nous verrons au chapitre 10 que l'étude de la phase der révèle des informations intéressantes.
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Dans la limite koa ~ oo (puits très profond) les solutions correspondent aux positions des asymptotes de cotg, i.e. nous retrouvons les solutions obtenues dans la
section 1.5.3 pour le puits infini : Kn ~ ~lf avec n = 1, 2, 3, · · ·.
c) Illustration n°2 : un problème d'états de diffusion
Nous étudions maintenant les états d'énergie E > 0 (toujours pour le potentiel de la
figure 2.1). La solution sur l'intervalle x E [-a, 0] est toujours de la forme (2.14).
Pour x E [O, oo[ la solution est maintenant de type propagative : (2.15) est remplacée
par
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où E = 1i;!
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[ces deux dernières équations remplacent (2.17,2.18)]. Nous pouvons donc exprimer trois des coefficients en fonction du quatrième, pour toute énergie E E [O, oo[.
L'équation de Schrodinger admet donc une solution VE E [O, oo[; l'énergie n'est
pas quantifiée, on dit que « le spectre des énergies est continu», ou qu'il y a un
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Nous simplifions le calcul comme précédemment en écrivant
continuité de la dérivée logarithmique, K cotg Ka = ik ~~g, ce qui conduit à
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Nous notons r le rapport des amplitudes. On vérifie que lorsque Vo = 0, r = -e
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est donné par l ep = ~~(ICl
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2 . L'expression (2.24) montre que la probabilité de réflexion est R = 1 puisque l'onde est complètement réfléchie par le mur en
x = -a. Nous verrons au chapitre 10 que l'étude de la phase der révèle des informations intéressantes.
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