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Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
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générale décrite ci-dessus :
(
e-~Ka ei;a ~l) r~J
iK -iK q
C
=o.
(2.19)
------~
J\il(E)
C
Le système n'admet de solution non triviale (i.e. différente de A = B = C = 0) que
si le déterminant de la matrice est nul. Puisque la matrice est fonction de l'énergie E ,
à travers K et q, et des paramètres du problème, Vo et a, la condition d'existence
d'une solution normalisable se traduit donc par une équation sur l'énergie, i.e. par la
quantification de celle-ci.
Maintenant que nous avons exposé l' idée générale, nous pouvons encore simplifier le calcul de la manière suivante. Reprenons : sur [-a, O] nous pouvons écrire
x = -a. Le raccordement avec Toutefois l' équation de Schrodinger étant linéaire, elle ne nous donne aucune information sur la constante multiplicative globale, qui est obtenue a posteriori par
normalisation (étape 5). Cette remarque nous permet d'éliminer une variable en imposant la continuité de la dérivée logarithmique de la fonction d'onde : <,0' (x) et continues =::::} [ln l<,01]' continue. Nous pouvons retenir qu'il est toujours plus efficace
d'imposer la continuité de [ln lcp(x)I]'.
Dans le cas présent les dérivées logarithmiques sont [ln l<,0(x)I]' = K cotg K(x +
a) pour -a < x < 0 et [ln l<,0(x)I]' = -q pour x > O. Nous obtenons directement
l'équation de quantification
KcotgKa = -q = - ~k6 - K2.
(2.20)
On pourra vérifier, par un calcul plus fastidieux, que l'annulation du déterminant de
la matrice (2.19) conduit bien à cette équation. Finalement nous pouvons résoudre en
principe l'équation de quantification, au moins graphiquement (figure 2.1 ).
Nous pouvons facilement dénombrer les solutions de l'équation. Lorsque k 0 a < ~
l'équation n'admet pas de solution, i.e. l'équation de Schrodinger ne possède pas
d'état lié lorsque le puits est trop peu profond. Lorsque ~(2N -1) < koa < ~(2N + 1),
1' équation admet N solutions Kn avec n E { 1, · · · , N} correspondant aux intersections
d d
b
L
.
' d N ,
1. ' d''
. E
1i
2
(K;-k~)
0 L
es eux cour es. e putts posse e
etats tes, energtes n =
2 m
< . a
fi gure 2.1 illustre un cas où l'équation de quantification admet deux solutions. À
gauche nous avons représenté l'allure des deux fonctions d 'onde correspondantes.
L'état fondamental ne s' annule qu 'une fois sur le bord et décroît exponentiellement
dans la barrière. L'état excité possède un nœud dans le puits et explore la région