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2.1. Équation d'onde - Premières applications
Lorsque son énergie est inférieure à la hauteur de la barrière, -V 0 < E < 0, le
potentiel confine la particule. Nous écrivons la fonction d' onde dans les différentes
régions de l'espace (étape 1):
ip(X) = Ü
=A e+iKx + B e- iKx
pour x <-a
pour - a< x < 0
pour x > 0
(2.13)
(2.14)
(2.15)
où nous avons posé E = ;: (K 2 - k5) = _ 1î~!
2
et Vo = 1î~~6 ; insistons sur le fait
que K et q ne sont pas des paramètres indépendants mais permettent de reparamétrer
l'énergie Ede façon commode. Nous avons éliminé le terme eqx divergeant à l'infini
(étape 2).
continuum d 'états
E,
X
- 6 - - - --------o_ o
0.5
Figure 2.1 - Spectre discret et continuum.
1.0
2.0
2.5
l .O
Ka/;r
Le potentiel confine la particule d'énergie -V 0 < E < 0; l'énergie est quantifi ée (la résolu -
tion graphique de l'équation de quantification (2.20), sur la figure de droite, donne deux
solutions); l'allure des deux fonctions d'onde est représentée . Pour E > 0, la particule est
libre (sur JR+) et l' énergi e n'e st pas quantifiée.
On raccorde les différentes solutions entre elles (étape 3). En x = -a le potentiel
devient infini. On impose seulement la continuité
A e- iKa + BeiKa =O.
(2.16)
En x = 0 le potentiel présente une discontinuité mais reste cependant borné. On
impose la continuité de la fonction d' onde et de sa dérivée :
A+B=C
iK(A - B) = -qC .
(2.17)
(2.18)
Les conditions de raccordement nous ont donc fourni 3 équations pour les 3 coefficients A, B et C, que nous écrivons sous la forme matricielle pour illustrer la méthode
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