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> a.
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Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
42
a) Stratégie générale : quantification ou continuum?
Pour des potentiels constants par morceaux, la stratégie générale est la suivante :
• Étape 1 : Résolution de l'équation différentielle dans chaque intervalle où V(x) =
este. Les solutions sont de la forme (2.11) ou (2.12)
• Étape 2 : Normalisabilité de la jonction d'onde. On s'assure que tous les termes
permettent la normalisation de la fonction d'onde.
• Étape 3 : Raccordement. On assure la continuité de la fonction d'onde <.p(x) (aux
interfaces entre intervalles où elle n' est pas encore assurée).
Si le potentiel est fini, on impose la continuité de la dérivée de la fonction d'onde
<.p' ( x) (cf. exercice 2.1).
Les problèmes avec potentiels constants par morceaux sont donc simples à résoudre dans le sens où nous remplaçons la résolution d'une équation différentielle du
second ordre par un système d'équations algébriques. Même lorsque le nombre d'intervalles est grand, la méthode est plus simple qu'il n'y paraît car seuls sont couplés
les coefficients associés à des intervalles voisins. On peut introduire un formalisme
de matrices de transfert qui utilise cette remarque (cf. exercice 5.2).
• Étape 4 : Pour un problème d 'états liés : équation de quantification. Dans un problème d ' état(s) lié(s), on a obtenu autant d' équations (linéaires) qu' il y a de coefficients. Les équations peuvent être mises sous la forme d'un système d'équations
algébriques : M(E) C = 0 où C est un vecteur regroupant les coefficients (notés cidessus A, B, A, etc.) et M(E) une matrice (dépendant de l'énergie et des paramètres
du problème). L'équation de Schrodinger n'admet donc de solution non triviale que
pour des valeurs discrètes de l'énergie, solutions de detM(E) = O. Cette équation
est appelée équation de quantification.
• Étape 4' : Pour un problème de diffusion. Le nombre de coefficients est supérieur
au nombre d'équations. VE on peut construire une solution de l'équation de Schrodinger. Le spectre des énergies est continu.
• Étape 5 : Les fonctions d'onde. Enfin l' ultime étape consiste à trouver les coefficients lorsque 1' énergie appartient au spectre des énergies, puis à normaliser les
fonctions d'onde .
Nous mettons maintenant en pratique la méthode sur un problème d' états liés et
un problème de diffusion.
b) Illustration n° l : un problème d'états liés
Nous considérons le potentiel représenté sur la figure 2.1 : V(x) = oo pour x < -a (ce
qui définit une région interdite d'accès), V(x) = - Vo pour -a < x < 0 et V(x) = 0
pour x > a.
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Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
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a) Stratégie générale : quantification ou continuum?
Pour des potentiels constants par morceaux, la stratégie générale est la suivante :
• Étape 1 : Résolution de l'équation différentielle dans chaque intervalle où V(x) =
este. Les solutions sont de la forme (2.11) ou (2.12)
• Étape 2 : Normalisabilité de la jonction d'onde. On s'assure que tous les termes
permettent la normalisation de la fonction d'onde.
• Étape 3 : Raccordement. On assure la continuité de la fonction d'onde <.p(x) (aux
interfaces entre intervalles où elle n' est pas encore assurée).
Si le potentiel est fini, on impose la continuité de la dérivée de la fonction d'onde
<.p' ( x) (cf. exercice 2.1).
Les problèmes avec potentiels constants par morceaux sont donc simples à résoudre dans le sens où nous remplaçons la résolution d'une équation différentielle du
second ordre par un système d'équations algébriques. Même lorsque le nombre d'intervalles est grand, la méthode est plus simple qu'il n'y paraît car seuls sont couplés
les coefficients associés à des intervalles voisins. On peut introduire un formalisme
de matrices de transfert qui utilise cette remarque (cf. exercice 5.2).
• Étape 4 : Pour un problème d 'états liés : équation de quantification. Dans un problème d ' état(s) lié(s), on a obtenu autant d' équations (linéaires) qu' il y a de coefficients. Les équations peuvent être mises sous la forme d'un système d'équations
algébriques : M(E) C = 0 où C est un vecteur regroupant les coefficients (notés cidessus A, B, A, etc.) et M(E) une matrice (dépendant de l'énergie et des paramètres
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pour des valeurs discrètes de l'énergie, solutions de detM(E) = O. Cette équation
est appelée équation de quantification.
• Étape 4' : Pour un problème de diffusion. Le nombre de coefficients est supérieur
au nombre d'équations. VE on peut construire une solution de l'équation de Schrodinger. Le spectre des énergies est continu.
• Étape 5 : Les fonctions d'onde. Enfin l' ultime étape consiste à trouver les coefficients lorsque 1' énergie appartient au spectre des énergies, puis à normaliser les
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Nous mettons maintenant en pratique la méthode sur un problème d' états liés et
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b) Illustration n° l : un problème d'états liés
Nous considérons le potentiel représenté sur la figure 2.1 : V(x) = oo pour x < -a (ce
qui définit une région interdite d'accès), V(x) = - Vo pour -a < x < 0 et V(x) = 0
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