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2.1. Équation d'onde - Premières applications
b) Soit
(C
0 correspond aux fonctions continues mais non dérivables). Montrer que si
V(x) E Cn([a, b]) alors
L'équation de Schrodinger stationnaire peut être résolue analytiquement pour certaines familles de potentiels (on dit alors que le problème est intégrable) : le potentiel
harmonique V(x) = Ax
2 que nous étudierons au chapitre 7, le potentiel de PoschlTeller V(x) = ch 2 ~ax), le potentiel de Morse V(x) = A (e2 ax - 2e-ax) (ces deux
derniers cas sont étudiés dans le § 23 de [30]), etc.
Une classe de potentiels pour lesquels l'équation de Schrodinger est facile à résoudre (du moins en principe) est le cas des potentiels constants par morceaux. Ce
cas constitue un système modèle qui nous permettra de dégager quelques idées générales sur la phénoménologie sous-jacente à l'équation de Schrodinger stationnaire.
Au-delà du cas d'école, ils peuvent nous permettre d'approcher des potentiels continus réalistes. Plus intéressant, notons qu'il est aujourd'hui possible de fabriquer des
structures semi-conductrices permettant de réaliser en pratique de tels potentiels pour
les électrons.
Nous expliquons maintenant le principe de la résolution de l'équation de Schrodinger lorsque V(x) est constant par morceaux, puis l'illustrons sur quelques cas simples.
D 'autres exemples sont proposés dans les exercices.
Considérons un intervalle [a, b] dans lequel V(x) = V 0 .
Si classiquement la particule est autorisée à se mouvoir dans l'intervalle, pour
E > V 0 , l'équation de Schrodinger (2.9) admet une solution de type onde plane
(propagative) :
d2
- 2
dx
(
n
2 k
2
def
)
"k
"k
avec
2
m = E - Vo =:::}
solution est évanescente :
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harmonique V(x) = Ax
2 que nous étudierons au chapitre 7, le potentiel de PoschlTeller V(x) = ch 2 ~ax), le potentiel de Morse V(x) = A (e2 ax - 2e-ax) (ces deux
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Une classe de potentiels pour lesquels l'équation de Schrodinger est facile à résoudre (du moins en principe) est le cas des potentiels constants par morceaux. Ce
cas constitue un système modèle qui nous permettra de dégager quelques idées générales sur la phénoménologie sous-jacente à l'équation de Schrodinger stationnaire.
Au-delà du cas d'école, ils peuvent nous permettre d'approcher des potentiels continus réalistes. Plus intéressant, notons qu'il est aujourd'hui possible de fabriquer des
structures semi-conductrices permettant de réaliser en pratique de tels potentiels pour
les électrons.
Nous expliquons maintenant le principe de la résolution de l'équation de Schrodinger lorsque V(x) est constant par morceaux, puis l'illustrons sur quelques cas simples.
D 'autres exemples sont proposés dans les exercices.
Considérons un intervalle [a, b] dans lequel V(x) = V 0 .
Si classiquement la particule est autorisée à se mouvoir dans l'intervalle, pour
E > V 0 , l'équation de Schrodinger (2.9) admet une solution de type onde plane
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