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Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
40
Un tel état est appelé «état stationnaire ». En effet, la densité de probabilité
llf!statio.(r, t)l
2 = lcp(r')l
2 est alors indépendante du temps (d'où la dénomination d'état
stationnaire).
• Conservation de la probabilité pour un état stationnaire
Puisque la densité Ptf!statio. = llf!statio. (r, t)l
2 = lcp(r',)1
2 est indépendante du temps, 1' équation de conservation prend la forme
~
~
'\/ • J tf!statio. = Ü.
(2.8)
Dans le cas unidimensionnel 1 Jt/Jsiatio. =este 1
• Équation de Schrbdinger stationnaire
La partie spatiale de la fonction d'onde satisfait l'équation différentielle Ecp(r') =
( - ;,: ~ + V(r') )cp(r'), que nous écrivons dans le cas unidimensionnel :
(
ri2 d2
)
- - - -
2
+ V(x)
(2.9)
Une fois connues l'ensemble des solutions stationnaires, i.e. l' ensemble des couples
{En, 'Pn(x)} que nous supposons ici pouvoir être indicés par un entier n, nous pouvons écrire la solution générale de l'équation de Schrodinger temporelle comme une
combinaison linéaire :
l/J(x, t) = I Cn 'Pn(X) e-iEnt/1i
(2.10)
n
où les coefficients Cn dépendent des conditions initiales. Nous reviendrons plus en
détail sur ce point au chapitre 5. Pour l'instant nous nous concentrons sur les solutions
stationnaires.
Pour terminer, notons que la notion d'état stationnaire n'est pas nouvelle. Elle
a due être abordée dans les cours de physique ondulatoire, par exemple lorsqu'on
étudie les modes propres de vibration d'une corde vibrante, ou les modes transverses
d'un guide d'onde.
Exercice 2.1 (MF) Continuité de la solution de l'équation de Schrôdinger
Soit K(x) une fonction connue, finie sur un intervalle [a, b] (mais pas nécessairement
continue).
a) Question préliminaire. Montrer que la solution de 1 'équation différentielle y' (x) +
K(x)y(x) = 0 est continue sur [a, b].
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Un tel état est appelé «état stationnaire ». En effet, la densité de probabilité
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2 est alors indépendante du temps (d'où la dénomination d'état
stationnaire).
• Conservation de la probabilité pour un état stationnaire
Puisque la densité Ptf!statio. = llf!statio. (r, t)l
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(2.8)
Dans le cas unidimensionnel 1 Jt/Jsiatio. =este 1
• Équation de Schrbdinger stationnaire
La partie spatiale de la fonction d'onde satisfait l'équation différentielle Ecp(r') =
( - ;,: ~ + V(r') )cp(r'), que nous écrivons dans le cas unidimensionnel :
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(2.9)
Une fois connues l'ensemble des solutions stationnaires, i.e. l' ensemble des couples
{En, 'Pn(x)} que nous supposons ici pouvoir être indicés par un entier n, nous pouvons écrire la solution générale de l'équation de Schrodinger temporelle comme une
combinaison linéaire :
l/J(x, t) = I Cn 'Pn(X) e-iEnt/1i
(2.10)
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où les coefficients Cn dépendent des conditions initiales. Nous reviendrons plus en
détail sur ce point au chapitre 5. Pour l'instant nous nous concentrons sur les solutions
stationnaires.
Pour terminer, notons que la notion d'état stationnaire n'est pas nouvelle. Elle
a due être abordée dans les cours de physique ondulatoire, par exemple lorsqu'on
étudie les modes propres de vibration d'une corde vibrante, ou les modes transverses
d'un guide d'onde.
Exercice 2.1 (MF) Continuité de la solution de l'équation de Schrôdinger
Soit K(x) une fonction connue, finie sur un intervalle [a, b] (mais pas nécessairement
continue).
a) Question préliminaire. Montrer que la solution de 1 'équation différentielle y' (x) +
K(x)y(x) = 0 est continue sur [a, b].