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2.1. Équation d'onde - Premières applications
2.1.2 Densité et courant de probabilité
Nous avons vu que si la particule est dans un état quantique décrit par une fonction
d'onde !f;(r, t), le sens du module carré de cette dernière est celui d' une densité de
probabilité : PtfJ(r, t) = 11/J(r, t)l
2 .
À toute densité Pt/! il est naturel d'associer une densité de courant de probabilité
-+
l t/J afin de caractériser le flot de la probabilité. Les deux quantités doivent satisfaire
une équation de conservation
(2.4)
écriture locale de la conservation de la probabilité (ou de la conservation du nombre
de particules). La question est maintenant d'exprimer la densité de courant en fonction de !f;(r, t). Pour cela on calcule 8pt/J/8t = %i!/l*!f; en utilisant l'équation de Schrodinger. On extrait :
(2.5)
Remarquons que la densité de courant fait apparaître l'opérateur de vitesse, ~ ~
r~i V,« sandwiché » entre la fonction d'onde et sa conjuguée.
• Onde plane
L'onde plane, décrivant une particule d' impulsion p = nk et d'énergie E = n~~
2
,
-+
nk2
2
m t),
(2.6)
est associée à la densité de probabilité uniforme P 2 et à la densité de courant
de probabilité l; = ~IAl
2
. Cette dernière relation a la forme d'un produit entre la
vitesse de la particule û = nk/m et la densité : l; = P
Nous résolvons l'équation de Schrodinger pour des potentiels indépendants du
temps dans quelques situations particulières dont nous tâcherons de dégager quelques
idées générales.
Pour un problème stationnaire, l'énergie est conservée, ce qui nous suggère de
rechercher une solution associée à une énergie E (c'est-à-dire une fréquence w = E/n)
bien déterminée, i.e. sous une forme séparable (espace/temps)
, 1 ,
( -+ )
(;t\ -iEt/n
'f' statio. r, t = .
(2.7)
39
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2.1. Équation d'onde - Premières applications
2.1.2 Densité et courant de probabilité
Nous avons vu que si la particule est dans un état quantique décrit par une fonction
d'onde !f;(r, t), le sens du module carré de cette dernière est celui d' une densité de
probabilité : PtfJ(r, t) = 11/J(r, t)l
2 .
À toute densité Pt/! il est naturel d'associer une densité de courant de probabilité
-+
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une équation de conservation
(2.4)
écriture locale de la conservation de la probabilité (ou de la conservation du nombre
de particules). La question est maintenant d'exprimer la densité de courant en fonction de !f;(r, t). Pour cela on calcule 8pt/J/8t = %i!/l*!f; en utilisant l'équation de Schrodinger. On extrait :
(2.5)
Remarquons que la densité de courant fait apparaître l'opérateur de vitesse, ~ ~
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• Onde plane
L'onde plane, décrivant une particule d' impulsion p = nk et d'énergie E = n~~
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(2.6)
est associée à la densité de probabilité uniforme P 2 et à la densité de courant
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vitesse de la particule û = nk/m et la densité : l; = P
Nous résolvons l'équation de Schrodinger pour des potentiels indépendants du
temps dans quelques situations particulières dont nous tâcherons de dégager quelques
idées générales.
Pour un problème stationnaire, l'énergie est conservée, ce qui nous suggère de
rechercher une solution associée à une énergie E (c'est-à-dire une fréquence w = E/n)
bien déterminée, i.e. sous une forme séparable (espace/temps)
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(2.7)
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