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> a.
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Chapitre 2 • Équation d'onde de Schrôdinger
38
La prescription est donc simplement de procéder à la substitution w ~ i gt et
k ~ -iffx dans la relation de dispersion. L'équation d'onde doit finalement être
a
n a 2
i -
0
l/J(x, t) = - -
2
- 2 1/f(x, t).
t
mox
(2.2)
Cette construction ne donne toutefois aucune indication sur le sens que 1 'on doit
attribuer à l' onde l/f(x, t). Nous rappelons que la fonction d'onde s'interprète comme
l'amplitude de densité de probabilité pour trouver la particule en x à l'instant t.
L'équation de Schrodinger a la forme d' une équation de diffusion (cf. exercice 5.3
sur le paquet d'ondes gaussien). Contrairement aux équations d'onde de la physique
classique (optique, acoustique, ... ), c'est une équation complexe ; la fonction d' onde
l/f(x, t) est donc elle aussi en général complexe.
• Équation de Schrbdinger dépendant du temps
Généralisons cette construction en présence d' un potentiel. Partons de l'expression
_,2
de l'énergie mécanique E = im + V(r, t) et procédons aux substitutions E ~in Ji et
p ~ -inV. Nous obtenons l'équation (l.13):
a
( n
2
)
in at l/J(r, t) = - 2
m 11 + ver, t) l/f(r, t)
(2.3)
qui décrit la dynamique quantique d' une particule non relativiste de masse m soumise
à un potentiel V(r, t).
Remarque: L'équation de Schrodinger n'a pas été démontrée
Dans le raisonnement qui précède, la nature« ondulatoire » de l'objet mathématique
décrivant l'état du système (la fonction d'onde) nous a conduit à rechercher une équation d'onde. Nous avons utilisé d'une part le principe de correspondance (Bohr), qui
assure une transition de la mécanique quantique à la mécanique newtonienne , et
d'autre part la dualité onde-corpuscule (les relations de Planck-Einstein et de L. de
Brogl ie). Pour le lecteur qui ne sera pas satisfait par ce raisonnement rappelons que
cette démarche ne constitue pas une démonstration; elle visait à formuler un postulat d'évolution, c'est-à-dire un axiome «raisonnable» déduit de certains principes
généraux (comme l'exigence d'invariance de la théorie sous les translations d' espacetemps et les changements de référentiels inertiels, i.e. les transformations du groupe
de Galilée qui seront étudiées dans la section 6.3.1 et le problème 6.1 page 118).
L'amélioration du raisonnement aboutissant à l'équation de Schrodinger (2.3) est
donc à rechercher dans un choix d'autres principes, plus fondamentaux que ceux
qui nou s ont se rvi de point de départ (cf. chapitre 6).
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La prescription est donc simplement de procéder à la substitution w ~ i gt et
k ~ -iffx dans la relation de dispersion. L'équation d'onde doit finalement être
a
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l/J(x, t) = - -
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(2.2)
Cette construction ne donne toutefois aucune indication sur le sens que 1 'on doit
attribuer à l' onde l/f(x, t). Nous rappelons que la fonction d'onde s'interprète comme
l'amplitude de densité de probabilité pour trouver la particule en x à l'instant t.
L'équation de Schrodinger a la forme d' une équation de diffusion (cf. exercice 5.3
sur le paquet d'ondes gaussien). Contrairement aux équations d'onde de la physique
classique (optique, acoustique, ... ), c'est une équation complexe ; la fonction d' onde
l/f(x, t) est donc elle aussi en général complexe.
• Équation de Schrbdinger dépendant du temps
Généralisons cette construction en présence d' un potentiel. Partons de l'expression
_,2
de l'énergie mécanique E = im + V(r, t) et procédons aux substitutions E ~in Ji et
p ~ -inV. Nous obtenons l'équation (l.13):
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in at l/J(r, t) = - 2
m 11 + ver, t) l/f(r, t)
(2.3)
qui décrit la dynamique quantique d' une particule non relativiste de masse m soumise
à un potentiel V(r, t).
Remarque: L'équation de Schrodinger n'a pas été démontrée
Dans le raisonnement qui précède, la nature« ondulatoire » de l'objet mathématique
décrivant l'état du système (la fonction d'onde) nous a conduit à rechercher une équation d'onde. Nous avons utilisé d'une part le principe de correspondance (Bohr), qui
assure une transition de la mécanique quantique à la mécanique newtonienne , et
d'autre part la dualité onde-corpuscule (les relations de Planck-Einstein et de L. de
Brogl ie). Pour le lecteur qui ne sera pas satisfait par ce raisonnement rappelons que
cette démarche ne constitue pas une démonstration; elle visait à formuler un postulat d'évolution, c'est-à-dire un axiome «raisonnable» déduit de certains principes
généraux (comme l'exigence d'invariance de la théorie sous les translations d' espacetemps et les changements de référentiels inertiels, i.e. les transformations du groupe
de Galilée qui seront étudiées dans la section 6.3.1 et le problème 6.1 page 118).
L'amélioration du raisonnement aboutissant à l'équation de Schrodinger (2.3) est
donc à rechercher dans un choix d'autres principes, plus fondamentaux que ceux
qui nou s ont se rvi de point de départ (cf. chapitre 6).