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ÉQUATION D'ONDE
DE SCHRÔDINGER
2.1 ÉQUATION D'ONDE - PREMIÈRES
APPLICATIONS
Nous étudions l'équation de Schrodinger, gouvernant l'évolution de la fonction
d'onde pour une particule (non relativiste) de masse m soumise à un potentiel indépendant du temps V(x). Pour simplifier nous considérons essentiellement le cas
unidimensionnel.
2.1.1 Construction de l'équation d'onde
En 1926, guidé par les idées de L. de Broglie, Schrodinger a proposé une équation d' onde afin de rendre compte des aspects ondulatoires de la matière. Comment
construire une équation d'onde? Celle-ci doit être linéaire pour permettre un principe de superposition. Nous devons donc chercher une relation linéaire entre les
d / . /
. 11 d 1 c
.
d' d Btfi a2t/I
Bt/I a2t/I
envees partie es e a 1onct10n on e 7fi, 812
, • •• , ax , axz , ...
• Principe de correspondance
Un fil conducteur est l'existence d' un « principe de correspondance » (Bohr) entre
la théorie classique et la théorie quantique. En particulier celui-ci fait correspondre
2
à la relation entre énergie et impulsion classique E = fm, une relation de dispersion
quantique.
• Problème libre et ondes planes
Considérons tout d' abord le problème libre. Dans ce cas, l'équation d' onde doit admettre des solutions de type onde plane, l/f(x, t) = l/J(k) eikx-iwt , décrivant un état de
la particule d'énergie E = liw et d'impulsion p = lik. Nous souhaitons décrire des
particules de masse m non relativistes. D'après le principe de correspondance, l'équation doit conduire à la relation de dispersion w = ~~ (c'est-à-dire E = f:) ; autrement
dit, lorsqu'on injecte dans l'équation d'onde l'onde plane l/f(x, t) = l/J(k)eikx- iwt , on
doit aboutir à
(
1ik2)
w - 2
m l/J(k) = O.
(2. 1)
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