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1.5. Premières conséquences importantes
Vérifions cette assertion : notons Xe(t) la solution minimisant 1' action et posons
ôx(t) = x(t) - Xe(t). La variation de l'action <5S ~ S [x] - S [xe] est calculée sans
peme:
<5S = [mie(t)ôx(t)]~~ -J.
1 2
dtôx(t)[mie(t) + V'(xe(t))]
!1
(1.26)
Parmi toutes les solutions issues et arrivant en deux points donnés, i.e. V ôx(t) tels que
<5x(t1) = <5x(t2) = 0, l'action est stationnaire pour Xe solution de mie(t) = -V'(xe(t)).
On a bien retrouvé la relation fondamentale de la dynamique pour un champ de force
dérivant du potentiel V(x).
• Lagrangien
On introduit le lagrangien L(x, .X), fonction locale des variables cinématiques (ici
L = ~.X
2 - V(x)) permettant d'exprimer l'action comme S = J:
2 dt L(x(t), x(t)).
Le principe de moindre action conduit donc à l'équation du mouvement (équation
d'Euler-Lagrange) :
<5S
aL
d (aL)
ôx(t) = ax - dt a.x =
0
(1.27)
où 6 ~ft) est la dérivée fonctionnelle, définie par S [x + ôx] = S [x] + J dt ôx(t) 6 ~fr) +
0(<5x 2 ).
• Énergie et impulsion
Nous considérons une transformation de la coordonnée temporelle t ---7 t' = t + <5t et
de la trajectoire x(t) ---7 x' (t') = x(t) + ôx(t). Nous déduisons la variation x à temps
coïncidents x'(t) ::::: x(t) +<5x(t) -<5t x(t). Nous pouvons calculer la variation de l'action
correspondant à la transformation, <5S = rt' . r; dt' L(x' (t'), x' (t')) - r
12 dt L(x(t) , x(t)) :
Jtl
J11
<5S = <5t [L -. X a~1t2 + [ôx a~1t2 + I.t2 dt raL - ~ a~ i ôx(t)
ax t 1
ax t1
!1
ax
dt ax
(1.28)
Le troisième terme s' annule si nous considérons la variation de l'action pour des
trajectoires physiques solutions de l'équation d' Euler-Lagrange (1.27).
Si nous considérons une transformation <5t * 0 et ôx(t) = 0, la variation de l'action
associée aux trajectoires physiques est donnée par <5S = &[ L- x~; ]~~. Nous obtenons
1' expression de la quantité conservée lors d'une translation temporelle (1 'énergie) :
BL
H = .X- -L.
a.x
(1.29)
Lorsque L = ~ x 2 - V(x) on retrouve 1 'expression bien connue de 1 'énergie mécanique
H = ~.X
2 + V(x).
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Vérifions cette assertion : notons Xe(t) la solution minimisant 1' action et posons
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peme:
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Parmi toutes les solutions issues et arrivant en deux points donnés, i.e. V ôx(t) tels que
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On a bien retrouvé la relation fondamentale de la dynamique pour un champ de force
dérivant du potentiel V(x).
• Lagrangien
On introduit le lagrangien L(x, .X), fonction locale des variables cinématiques (ici
L = ~.X
2 - V(x)) permettant d'exprimer l'action comme S = J:
2 dt L(x(t), x(t)).
Le principe de moindre action conduit donc à l'équation du mouvement (équation
d'Euler-Lagrange) :
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où 6 ~ft) est la dérivée fonctionnelle, définie par S [x + ôx] = S [x] + J dt ôx(t) 6 ~fr) +
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• Énergie et impulsion
Nous considérons une transformation de la coordonnée temporelle t ---7 t' = t + <5t et
de la trajectoire x(t) ---7 x' (t') = x(t) + ôx(t). Nous déduisons la variation x à temps
coïncidents x'(t) ::::: x(t) +<5x(t) -<5t x(t). Nous pouvons calculer la variation de l'action
correspondant à la transformation, <5S = rt' . r; dt' L(x' (t'), x' (t')) - r
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Le troisième terme s' annule si nous considérons la variation de l'action pour des
trajectoires physiques solutions de l'équation d' Euler-Lagrange (1.27).
Si nous considérons une transformation <5t * 0 et ôx(t) = 0, la variation de l'action
associée aux trajectoires physiques est donnée par <5S = &[ L- x~; ]~~. Nous obtenons
1' expression de la quantité conservée lors d'une translation temporelle (1 'énergie) :
BL
H = .X- -L.
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(1.29)
Lorsque L = ~ x 2 - V(x) on retrouve 1 'expression bien connue de 1 'énergie mécanique
H = ~.X
2 + V(x).
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