Chapitre 1 • Introduction
Si nous considérons maintenant une transformation ôt = 0 et <5x = este =f:. 0, la
variation d'action est <5S = [ ôx~; J!~. Dans une situation respectant l'invariance par
translation spatiale, l'action est conservée lors de la transformation. La constante du
mouvement est le moment conjugué (l'impulsion) :
oL
P = a.x.
(1.30)
Nous venons ainsi de relier la conservation de l'énergie et l' impulsion à deux propriétés géométriques de l'espace temps : l'invariance par translation d' espace temps
(théorème de Nœther).
• Équations de Hamilton
On introduit la fonction de Hamilton (le hamiltonien) des variables conjuguées x et
p: H(x, p) ~ .x~; - L. Les équations du mouvement prennent la forme
oH
x=- op
et
(1.31)
• Période du mouvement dans un potentiel unidimensionnel
Une fois la trajectoire classique allant de x(t 1 ) = x 1 à x(t 2 ) = x2 déterminée, nous
pouvons calculer son action, qui est donc une fonction des coordonnées de départ
et d' arrivée, que nous notons S ct(X2, t2lx1, t1) ~ S [xct]. Nous exprimons maintenant
l'action, non pas en fonction de la différence de temps t 2 - t 1 = t mais en fonction de
l'énergie Ede la trajectoire. Nous introduisons :
(1.32)
En écrivant que S cl = Jc: dt' [ ~ x(t')
2 - V(x(t'))] et Et = Jc: dt' [ ~ .X(t') 2 + V(x(t'))] nous
obtenons S(x2lx1 ; E) = Jc: dt' mx 2 soit, en supposant que x 2 > x 1 et que la trajectoire
g
ne possède pas de point de rebroussement,
:J
~
S(x2l x 1; E) = lx
2
dx p(x)
où
p(x ) ~ ...j2m[E - V(x)]
(1.33)
~
x,
@
On considère une particule d' énergie E piégée par potentiel
.......
Exercice 1.3 (MF)
"êi
confinant (par exemple sur la figure 1.8). On note a et b > a les deux points tour·c
~
nants. Montrer que la période des oscillations est donnée par
0
u
~
~
Tct(E) = 2 Ja
(1.34)
34
a
~~[E - V(x)]
Donner la relation entre cette période et l'action S(bla; E). Appliquer le résultat (1.34) dans le cas d' un oscillateur harmonique.