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0
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.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Remarque : Aimantation
Mentionnons que le courant permanent n' est pas la seule quantité physique mettant
en évidence la présence du courant diamagnétique: l'aimantation du gaz d'électrons
dégénéré a été également calculée : MEF«t» = - 6 '::;ea(l - a)(t - a) pour 0 ~ a ~ 1.
Remarquons que l'aimantation est indépendante de EF, ce qui indique que seuls les
états d' énergie E = 0 y contribuent. Ceci est à opposer au cas du courant permanent pour lequel la contribution des états est indépendante de leur énergie, d'où la
proportionnalité du courant avec Ef.
Pour en savoir plus
Sur la régularisation ~ dans ce contexte, on pourra consulter : A. Moroz, Single-particle
density of states, bound states, phase-shift slip, and a resonance in the presence of an
Aharonov-Bohm potential, Phys. Rev. A 53, 669 (1996).
Sur la régularisation harmonique : A. Comtet, S. Mashkevich & S. Ouvry, Magnetic
moment and perturbation theory with singular magnetic fields , Phys. Rev. D 52, 2594
(1995) et J. Desbois, S. Ouvry & C. Texier, Persistent currents and magnetization in twodimensional magnetic systems, Nucl. Phys. B 528, 727 (1998). Pour une revue, C. Texier,
Quelques aspects du transport quantique dans les systèmes désordonnés de basse dimension, thèse de l'Université Paris 6 (1999). L'analyse du courant permanent ou de l'aimantation en présence d ' un vortex ont été discutés dans ces deux dernières références.
La relation entre matrice S et courant permanent a été proposée dans E. Akkermans, A.
Auerbach, J. E. Avron & B. Shapiro, Relation between persistent currents and the scattering matrix, Phys. Rev. Lett. 66, 76 (1991). (voir aussi l'encadré dans le corrigé de
l'exercice 5.8, page 324).
-
Problème : Conductivité Hall d'un gaz d'électrons bidimensionnel
1. L'hamiltonien He = 2
P; + (Py ~qeBx)2 -qe8x est invariant par translation selon Ûu. Nous poum.
m.
vons donc chercher des états stationnaires états propres de Pu (le générateur des translations):
l/f(x, y)= 2 -qe8x] E nique. Si on écrit
[
n
2
d
2
1
2 (
qe8 )
2
(qe8)
2
l
- - - 2
+ -m*wc X - Xe - - - - qeOXc -
2
2m* dx
2
m*we
2m*we
(B.69)
on obtient immédiatement le spectre des énergies : En,k = nwc (n + - 2
1 ) - qe8xe - 2
(q"t.:): . En
m. wc
présence du champ électrique, les énergies dépendent des deux nombres quantiques n E N
et k (à travers 0 ;S Xe ;S Ly). Les états propres sont l/fn,k(X, y) = 'Pn(X - Xe - qet.: ) _b-eiku, où
m. wc v27f
'Pn(x) sont les états propres de l'oscillateur harmonique.
) E
·1·
a < "' I " ' ) - 0
, .
8E11,k -
a < "' 1 p°2,
(lîk-qeBi)
2
2. a
n ut1 isant ak 'f'n,k 'f'n,k -
nous ecnvons ifk - ak 'f'n,k 2 m. +
2 m.
362
qe8xll/fn,k) = n7. (l/in ,klnk- qeBxll/fn,d = n(l/fn,klPy-::Bxll/fn,d = n(l/fn,klûull/fn,d·
QED. On déduit la densité de courant selon Ûy dans l' état:
-(n,k) _ 1 oEn,k
qe8
l y
- SB OXe
SB
(B.70)
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Remarque : Aimantation
Mentionnons que le courant permanent n' est pas la seule quantité physique mettant
en évidence la présence du courant diamagnétique: l'aimantation du gaz d'électrons
dégénéré a été également calculée : MEF«t» = - 6 '::;ea(l - a)(t - a) pour 0 ~ a ~ 1.
Remarquons que l'aimantation est indépendante de EF, ce qui indique que seuls les
états d' énergie E = 0 y contribuent. Ceci est à opposer au cas du courant permanent pour lequel la contribution des états est indépendante de leur énergie, d'où la
proportionnalité du courant avec Ef.
Pour en savoir plus
Sur la régularisation ~ dans ce contexte, on pourra consulter : A. Moroz, Single-particle
density of states, bound states, phase-shift slip, and a resonance in the presence of an
Aharonov-Bohm potential, Phys. Rev. A 53, 669 (1996).
Sur la régularisation harmonique : A. Comtet, S. Mashkevich & S. Ouvry, Magnetic
moment and perturbation theory with singular magnetic fields , Phys. Rev. D 52, 2594
(1995) et J. Desbois, S. Ouvry & C. Texier, Persistent currents and magnetization in twodimensional magnetic systems, Nucl. Phys. B 528, 727 (1998). Pour une revue, C. Texier,
Quelques aspects du transport quantique dans les systèmes désordonnés de basse dimension, thèse de l'Université Paris 6 (1999). L'analyse du courant permanent ou de l'aimantation en présence d ' un vortex ont été discutés dans ces deux dernières références.
La relation entre matrice S et courant permanent a été proposée dans E. Akkermans, A.
Auerbach, J. E. Avron & B. Shapiro, Relation between persistent currents and the scattering matrix, Phys. Rev. Lett. 66, 76 (1991). (voir aussi l'encadré dans le corrigé de
l'exercice 5.8, page 324).
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Problème : Conductivité Hall d'un gaz d'électrons bidimensionnel
1. L'hamiltonien He = 2
P; + (Py ~qeBx)2 -qe8x est invariant par translation selon Ûu. Nous poum.
m.
vons donc chercher des états stationnaires états propres de Pu (le générateur des translations):
l/f(x, y)= 2 -qe8x] E nique. Si on écrit
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(B.69)
on obtient immédiatement le spectre des énergies : En,k = nwc (n + - 2
1 ) - qe8xe - 2
(q"t.:): . En
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présence du champ électrique, les énergies dépendent des deux nombres quantiques n E N
et k (à travers 0 ;S Xe ;S Ly). Les états propres sont l/fn,k(X, y) = 'Pn(X - Xe - qet.: ) _b-eiku, où
m. wc v27f
'Pn(x) sont les états propres de l'oscillateur harmonique.
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nous ecnvons ifk - ak 'f'n,k 2 m. +
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QED. On déduit la densité de courant selon Ûy dans l' état:
-(n,k) _ 1 oEn,k
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(B.70)