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Solutions des exercices et problèmes
d) Dans la limite de confinement mou/fort champ magnétique (wo « lùc ), on a w 1 :::::'. lùc,
d'où E ,l,Xc :::::' . nwc(n + ~) + Vconf(Xc). Cette relation se justifie tant que le potentiel confinant
Vconr(x) varie lentement à l'échelle de la longueur magnétique l 8 = ..,/n/qB caractérisant
la largeur de la fonction d' onde selon Ox. Le courant électrique est porté par les bords
définis par le confinement ln,Xc) - I dx /n,Xc) - q (v )
1 avconr(xc)
!J
-
y
-
y 11,Xc :::::' . B axe
Pour en savoir plus
Le concept d'état de bord a été introduit dans un célèbre article: B . I. Halperin, Quantized Hall conductance, current-carrying edge states, and the existence of extended states
in a two-dimensional disordered potential, Phys. Rev. B 25, 2185 (1982).
Cette idée a été utilisée pour donner une belle interpertation de l'effet Hall quantique
entier dans un article non moins célèbre: M. Büttiker, Absence of backscattering in the
quantum Hall effect in multiprobe conductors, Phys. Rev. B 29, 9375 (1988). Pour une
énergie donnée, un nombre fini de bandes de Landau sont occupées, chacune apportant
une contribution quantifiée au courant circulant le long du bord, expliquant ainsi la quantification du courant (i.e. de la conductivité Hall, figure 16.2).
Exercice
Courant permanent induit par un vortex magnétique
a) La densité de courant associée à l'état stationnaire (16.15) est Ûo· ~k. 1 1 1 = ;. lm [ l/t~.m ~( J 8 -
ia)l/tk m] = nk m 2
- a 1
1
2
1
(kr). L' intégration nous donne lm(k) = 4 qnk sign(m - a) =
'
m. ;rr 1n- o:
;rm.
1 dE · (
)
2
consiste à ajouter un potentiel harmonique ~mew,.r
2
, puis à prendre la limüe w,. ~ 0 après
calcul du courant (régularisation harmonique). Une autre méthode donnant le même résulc)
tat consiste à écrire la somme en terme de la fonction de Hurvitz {(s, a)~ L::'= 0 (m+a)- s :
on obtient L:~':- 00 sign(m- a)= lims~o [{(s, 1 - a) - {(s, a)] = 2a - 1 (régularisation{).
Finalement nous obtenons d/(E; ) = J
0
(a - ~)dE pour 0 < a < 1 (rappelons que les
propriétés physiques sont périodiques en a). Si on considère un gaz d'électrons, on doit
sommer ce résultat jusqu 'au niveau de Fermi: I €F () = fo€F dl(E; résultat est bien impair sous a ~ 1 - a : le vortex magnétique induit un courant dans le
sens opposé à la circulation du potentiel vecteur. C'est un courant de nature diamagnétique. On peut encore écrire le courant en terme de la densité électronique ne = 2 ;ri 2 EF :
I €F () = qn ne (a - _ 21 ) •
m.
En utilisant que T/m = ~( lml - lm - al), nous voyons que la dérivée par rapport au flux,
a - 1( • (
)
••
'd
1
· I (E) - I (k) ctk - 1 a
a - m dE - ; a Puisque les déphasages sont les phases des valeurs propres de la matrice S , nous obtenons
ainsi une relation entre cette dernière et le courant permanent: dl(E ; ) = g~ f de portée assez générale.
361
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Vconr(x) varie lentement à l'échelle de la longueur magnétique l 8 = ..,/n/qB caractérisant
la largeur de la fonction d' onde selon Ox. Le courant électrique est porté par les bords
définis par le confinement ln,Xc) - I dx /n,Xc) - q (v )
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Pour en savoir plus
Le concept d'état de bord a été introduit dans un célèbre article: B . I. Halperin, Quantized Hall conductance, current-carrying edge states, and the existence of extended states
in a two-dimensional disordered potential, Phys. Rev. B 25, 2185 (1982).
Cette idée a été utilisée pour donner une belle interpertation de l'effet Hall quantique
entier dans un article non moins célèbre: M. Büttiker, Absence of backscattering in the
quantum Hall effect in multiprobe conductors, Phys. Rev. B 29, 9375 (1988). Pour une
énergie donnée, un nombre fini de bandes de Landau sont occupées, chacune apportant
une contribution quantifiée au courant circulant le long du bord, expliquant ainsi la quantification du courant (i.e. de la conductivité Hall, figure 16.2).
Exercice
Courant permanent induit par un vortex magnétique
a) La densité de courant associée à l'état stationnaire (16.15) est Ûo· ~k. 1 1 1 = ;. lm [ l/t~.m ~( J 8 -
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Finalement nous obtenons d/(E; ) = J
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propriétés physiques sont périodiques en a). Si on considère un gaz d'électrons, on doit
sommer ce résultat jusqu 'au niveau de Fermi: I €F () = fo€F dl(E; résultat est bien impair sous a ~ 1 - a : le vortex magnétique induit un courant dans le
sens opposé à la circulation du potentiel vecteur. C'est un courant de nature diamagnétique. On peut encore écrire le courant en terme de la densité électronique ne = 2 ;ri 2 EF :
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En utilisant que T/m = ~( lml - lm - al), nous voyons que la dérivée par rapport au flux,
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