-0
0
c
:J
0
lil
..-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
d) Premier niveau de Landau. Nous pouvons vérifier que l'action des opérateurs d ' annihilation sur les fonctions d'onde est représentée par les opérateurs différentiels
[
8
m*we ]
b
~n [ a m*we -]
a ~
- + - - z
et
~
- - - + - - z
OZ
4n
ffl*We OZ
4n
(B.65)
où z = x + iy (donc Îz = tC%x - igY) et lz = tC%x + igY)). Les expressions des opérateurs de création sont obtenues en utilisant que ( Îz) t = - Îz: On aboutit finalement à la
représentation du moment orbital
tz ~n(z:z -z:z)·
(B.66)
Les états du niveau de Landau le plus bas sont définis par al 1/f) = O. En écrivant !/f(z, z) =
f(z, z) exp - m4~" ZZ, 1 'équation (at/i)(z, z) = 0 devient %' = 0, i.e. f ne dépend que de Z,
qui est la définition d'une fonction holomorphe. Les fonctions d'onde des états du premier
niveau de Landau ont bien la forme
m,.wç -
1/f(z, z) = f(z) e- 4fi zz .
(B.67)
On vérifie sans difficulté que tz(zm) = nm zm, d ' où lzl/f(z, z) = nml/f(z, z) si f( z) = zm.
Exercice
Barre de Hall et états de bord
a) Les équations du mouvement sont: Ü x = WeVu-w6x et Üy = -wevx. En dérivant la première
de ces équations on obtient Üx = -w;vx où w 1 ~ ~w~ + w6. On déduit Vx puis x et enfin
vy. En choisissant l'origine des temps pour que Vx soit maximum pour t = 0 on obtient
finalement x(t) = Xe + .l..vox sin w,t et y(t) = Vdt + w~ Vox cos W1t où Vd = Xew 0
2 /we. Ces
w,
w,
équations décrivent la combinaison d ' un mouvement elliptique (circulaire à fort champ
magnétique, w 0 « We) et d' une tran slation rectiligne uniforme dans la direction Oy. Xe
contrôle la vitesse de dérive selon Oy alors que vox contrôle 1' amplitude des oscillations.
b) c)
360
Le spectre des états stationnaires est donc 1/fn,xc(x, y) = eiky'Pn(x - Xe), où 'Pn(x) est
l'état stationnaire de l'oscillateur harmonique lD centré sur x = 0, d 'énergie En,xc =
nw1(n + t) + tm*w6(~~ xcl. Ces états sont indicés par deux nombres quantiques n E N
et Xe E R Le confinement harmonique dans la direction Ox lève donc la dégénérescence
infinie des états de Landau : le spectre est constitué d'un ensemble de bandes de Landau,
paraboliques en fonction de Xe .
La vitesse moyenne dans l'état stationnaire est (vy) = ~ (Pu - qBx) = !k -WeXe =
11,Xc
-.
n,Xc:
•
Xew6/we. On a retrouvé précisément l'expression de vd obtenue par le calcul classique. Remarquons quel' on peut également obtenir le courant en utilisant le théorème de FeynmanHellmann (cf. exercice 5.8 et problème 16.1) : l~n,xc) = J dx j~i,xc) = q (vu) _ = *
8
~tc =
n,.Xc
B
wZ, 2
8
8
E,,,xc = qvd. Le signe du courant est corrélé au signe de Xe. Pour une énergie fixée ,
W 1
Xe
les deux états 1/fn,xc (x, y) et 1/fn,-x)x, y), concentrés le long des deux bords définis par le
confinement selon Ox, portent des courants respectifs +qvd et -qvd.
0
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
d) Premier niveau de Landau. Nous pouvons vérifier que l'action des opérateurs d ' annihilation sur les fonctions d'onde est représentée par les opérateurs différentiels
[
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m*we ]
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~n [ a m*we -]
a ~
- + - - z
et
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- - - + - - z
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(B.65)
où z = x + iy (donc Îz = tC%x - igY) et lz = tC%x + igY)). Les expressions des opérateurs de création sont obtenues en utilisant que ( Îz) t = - Îz: On aboutit finalement à la
représentation du moment orbital
tz ~n(z:z -z:z)·
(B.66)
Les états du niveau de Landau le plus bas sont définis par al 1/f) = O. En écrivant !/f(z, z) =
f(z, z) exp - m4~" ZZ, 1 'équation (at/i)(z, z) = 0 devient %' = 0, i.e. f ne dépend que de Z,
qui est la définition d'une fonction holomorphe. Les fonctions d'onde des états du premier
niveau de Landau ont bien la forme
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1/f(z, z) = f(z) e- 4fi zz .
(B.67)
On vérifie sans difficulté que tz(zm) = nm zm, d ' où lzl/f(z, z) = nml/f(z, z) si f( z) = zm.
Exercice
Barre de Hall et états de bord
a) Les équations du mouvement sont: Ü x = WeVu-w6x et Üy = -wevx. En dérivant la première
de ces équations on obtient Üx = -w;vx où w 1 ~ ~w~ + w6. On déduit Vx puis x et enfin
vy. En choisissant l'origine des temps pour que Vx soit maximum pour t = 0 on obtient
finalement x(t) = Xe + .l..vox sin w,t et y(t) = Vdt + w~ Vox cos W1t où Vd = Xew 0
2 /we. Ces
w,
w,
équations décrivent la combinaison d ' un mouvement elliptique (circulaire à fort champ
magnétique, w 0 « We) et d' une tran slation rectiligne uniforme dans la direction Oy. Xe
contrôle la vitesse de dérive selon Oy alors que vox contrôle 1' amplitude des oscillations.
b) c)
360
Le spectre des états stationnaires est donc 1/fn,xc(x, y) = eiky'Pn(x - Xe), où 'Pn(x) est
l'état stationnaire de l'oscillateur harmonique lD centré sur x = 0, d 'énergie En,xc =
nw1(n + t) + tm*w6(~~ xcl. Ces états sont indicés par deux nombres quantiques n E N
et Xe E R Le confinement harmonique dans la direction Ox lève donc la dégénérescence
infinie des états de Landau : le spectre est constitué d'un ensemble de bandes de Landau,
paraboliques en fonction de Xe .
La vitesse moyenne dans l'état stationnaire est (vy) = ~ (Pu - qBx) = !k -WeXe =
11,Xc
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•
Xew6/we. On a retrouvé précisément l'expression de vd obtenue par le calcul classique. Remarquons quel' on peut également obtenir le courant en utilisant le théorème de FeynmanHellmann (cf. exercice 5.8 et problème 16.1) : l~n,xc) = J dx j~i,xc) = q (vu) _ = *
8
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n,.Xc
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8
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E,,,xc = qvd. Le signe du courant est corrélé au signe de Xe. Pour une énergie fixée ,
W 1
Xe
les deux états 1/fn,xc (x, y) et 1/fn,-x)x, y), concentrés le long des deux bords définis par le
confinement selon Ox, portent des courants respectifs +qvd et -qvd.