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Solutions des exercices et problèmes
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d'd ·
·
4 ( e
2 )2
· d ( 3)
4 ( e
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rayonnee: - 2 2 ur + ray = . ous e msons r ~ -- 3
c - 2
-
s01t -dr r ~ - 3 -
=
r
mec r
c me
-8a
3 a6Rfn. Le rayon de l' orbite passe der= 4ao à r = ao en un temps r~~~ I s ~ 8nf(a
3 R),
presque le résultat donné par la règle d'or de Fermi, éq. (1 5.41), i.e. l /I' 2 p ~ 13n/(a
3 R).
Bien entendu ce modèle classique ne saurait être satisfaisant puisque l'atome de Rutherford s'éffondre un temps très court: le rayon passe de r(O) = a 0 à r(r~\~ss) = 0 en un temps
Tclass ~ n/(8a 3 R) ~ 1.5 10- 11 s (cf. chapitre 1).
vie
Exercice
Oscillations de Rabi dans un atome à 2 niveaux
On écrit
1
( 0 e-iwr ) 1
( 0 eiwt )
W(t) = 2 Wab eiwr O + 2 Wab e-iwr O = W+(t) + W _(t)
(B.61)
On remarque que Ho+ W+(t) est exactement l' hamiltonien étudié dans le problème 15.l,
ci-dessous. En supposant Wab > 0, le terme W+(t) est en résonance si w ~ Wab (mais le
terme W _(t) hors résonance). D'après le problème étudié ci-dessous on a donc P a_,b (t) ~
( ~f; )
2 sin
2 (Qt/2) où Q ~ ~(w - Wab) 2 + W'iib!n 2 (en négligeant W_(t)). Dans le régime de
fort couplage, à résonance, l'atome oscille entre les deux états (toutefois les oscillations de
Rabi sont amorties par le couplage aux autres états [10]). Au voisinage de la résonance, mais
pour w * Wab, l'expression de P a_,b(t) ~ (1i(w~~ab) )
2 sin
2 [(w - Wab)t/2] coïncide avec un des
deux termes du résultat perturbatif (15.16).
-
Problème : Résonance magnétique dans un jet moléculaire
1. Si le champ est uniforme et constant les degrés de liberté orbitaux et de spin sont découplés. Le spin décrit un « mouvement » de précession autour de l'axe du champ magnétique à
pulsation W L = y B. Si la particule est chargée électriquement son mouvement est circulaire
uniforme : la particule décrit une orbite cyclotron à pulsation W c = qB (chapitre 16). Si la
m.
particule est neutre, son mouvement est indépendant du champ magnétique : elle décrit un
mouvement de translation rectiligne uniforme.
2. Les composantes du spin 1/2 sont données par les matrices de Pauli. On obtient
in~ (x+U)) = H(t) (x+(t))
dt \x- U)
\x- Ct)
avec
H () = - ny ( Bo Bi e- iwr )
t
2 Bi e
1
w
1
-Bo
(B.62)
3. a) Le changement de variables correspond à une rotation d' un angle (] = -wt, (cf.
§ 8.2.2) i.e. à se placer dans un référentiel tournant dan s lequel Je champ est statique.
b)
in~ (l.fJ+(t)) = H (
1.p_(t)
2
WJ
W - Wo
(B.63)
où wo ~f -yB 0 et w 1 ~f -yB 1 • L' équation différentielle pour(t) ~ (
w. Le champ magnétique est donc statique dans ce référentiel.
4. On utilise la paramétrisation du chapitre 5 : on introduit Q ~ ~~Cw ---w - 0 ) _ 2 _+_w_~ et l' angle(]
défini par cos(] ~f w~~w et sin(] ~ ' 6 . On obtient immédiatement les valeurs propres de
H : E± = ±nQ/2 et les vecteurs propres correspondant If'+ = (cos((J/2), sin((J/2)) et If'_ =
(- sin((J/2) , cos((J/2)).
357
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presque le résultat donné par la règle d'or de Fermi, éq. (1 5.41), i.e. l /I' 2 p ~ 13n/(a
3 R).
Bien entendu ce modèle classique ne saurait être satisfaisant puisque l'atome de Rutherford s'éffondre un temps très court: le rayon passe de r(O) = a 0 à r(r~\~ss) = 0 en un temps
Tclass ~ n/(8a 3 R) ~ 1.5 10- 11 s (cf. chapitre 1).
vie
Exercice
Oscillations de Rabi dans un atome à 2 niveaux
On écrit
1
( 0 e-iwr ) 1
( 0 eiwt )
W(t) = 2 Wab eiwr O + 2 Wab e-iwr O = W+(t) + W _(t)
(B.61)
On remarque que Ho+ W+(t) est exactement l' hamiltonien étudié dans le problème 15.l,
ci-dessous. En supposant Wab > 0, le terme W+(t) est en résonance si w ~ Wab (mais le
terme W _(t) hors résonance). D'après le problème étudié ci-dessous on a donc P a_,b (t) ~
( ~f; )
2 sin
2 (Qt/2) où Q ~ ~(w - Wab) 2 + W'iib!n 2 (en négligeant W_(t)). Dans le régime de
fort couplage, à résonance, l'atome oscille entre les deux états (toutefois les oscillations de
Rabi sont amorties par le couplage aux autres états [10]). Au voisinage de la résonance, mais
pour w * Wab, l'expression de P a_,b(t) ~ (1i(w~~ab) )
2 sin
2 [(w - Wab)t/2] coïncide avec un des
deux termes du résultat perturbatif (15.16).
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Problème : Résonance magnétique dans un jet moléculaire
1. Si le champ est uniforme et constant les degrés de liberté orbitaux et de spin sont découplés. Le spin décrit un « mouvement » de précession autour de l'axe du champ magnétique à
pulsation W L = y B. Si la particule est chargée électriquement son mouvement est circulaire
uniforme : la particule décrit une orbite cyclotron à pulsation W c = qB (chapitre 16). Si la
m.
particule est neutre, son mouvement est indépendant du champ magnétique : elle décrit un
mouvement de translation rectiligne uniforme.
2. Les composantes du spin 1/2 sont données par les matrices de Pauli. On obtient
in~ (x+U)) = H(t) (x+(t))
dt \x- U)
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avec
H () = - ny ( Bo Bi e- iwr )
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1
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(B.62)
3. a) Le changement de variables correspond à une rotation d' un angle (] = -wt, (cf.
§ 8.2.2) i.e. à se placer dans un référentiel tournant dan s lequel Je champ est statique.
b)
in~ (l.fJ+(t)) = H (
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2
WJ
W - Wo
(B.63)
où wo ~f -yB 0 et w 1 ~f -yB 1 • L' équation différentielle pour
w. Le champ magnétique est donc statique dans ce référentiel.
4. On utilise la paramétrisation du chapitre 5 : on introduit Q ~ ~~Cw ---w - 0 ) _ 2 _+_w_~ et l' angle(]
défini par cos(] ~f w~~w et sin(] ~ ' 6 . On obtient immédiatement les valeurs propres de
H : E± = ±nQ/2 et les vecteurs propres correspondant If'+ = (cos((J/2), sin((J/2)) et If'_ =
(- sin((J/2) , cos((J/2)).
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