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N
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..c
Ol
ï:::
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Cl.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
Transition 2s~ 1 s dans l'atome H
• Partant de la perturbation W(t) = - 2
q. tJ · Â(r, t), 1' approximation dipolaire électrique corm,
respond à un calcul approché del' élément de matrice ( 'PJ lp · Â(r, O)l 'Pi), qui a fait intervenir
le développement de l' exponentielle de l'onde plane : eik-i' = 1 + ik . r - ! (k . 1) 2 + ....
L'approximation dipolaire électrique a consisté à ne retenir que le premier terme (le 1). Si
l'approximation conduit à un élément de matrice nul, ( cp f 18;:,cr · fr l 'Pi ) = 0, nous pourrions
-+
garder le terme suivant, ce qui ferait apparaître ( 'PJ ICE'r,cr · f])(k · rJl 'Pi) qui conduit à de nouvelles règles de sélection. Cette approximation porte le nom « d'approximation quadrupolaire
électrique» (on peut montrer qu 'elle conduit aux règles de sélection !se= 0, ±2).
Cependant elle ne permet pas la transition entre 2s et ls non plus! On peut en effet
voir que l'élément de matrice est nul pour des raisons de symétrie : l' élément de matrice
(2slfreik-i'I ls) est un vecteur. Puisqu ' il met en jeu deux fonctions d'onde invariantes par
rotation, il ne peut qu'être proportionnel au vecteur k (la seule direction). D'où (2s l.stk ... ·
,cr
fr eik-111 s) ex: sr.cr · k = 0 (on peut aussi s'en convaincre en écrivant explicitement les intégrales). QED.
Cette première piste n'était donc pas la bonne ...
•Le calcul perturbatif à l'ordre Je plus bas ne prédit pas de transition 2s ~ ls: cj)(t) ~
f dt'(· · · )( cp f 1 W(t')l 'Pï) = O. Nous devons considérer la correction d' ordre plus élevé.
La forme du résultat est cj
2 )(t) ~ f dt'dt"(···)2= 11 (cp1I W(t')lcp 11 )(cpn lW(t")lcpi) (cf. exercice 15 .3) et décrit des transitions par un état intermédiaire, s' interprétant comme des transitions à deux photons (une émission/absorption pour l 'Pi) ~ l 'Pn) puis une autre pour
l 'Pn) ~ l 'Pt)) . Le calcul serait beaucoup plus compliqué. Il a par exemple été reporté dans
la référence : S. Klarsfeld, Radiative decay of metastable hydrogenic atoms, Physics Letters
30A, 382 (1969). Le taux de transition est I' 2 s--+ ls :::::e 8.229 s1
, huit ordres de grandeur plus
faible que I'2p--+ ls !
Pour en savoir plus
On trouvera le calcul détaillé de la correction d'ordre 2 au taux de transition dans le
complément Ai de [10]:i--+f(t) :::::e t
2
r~5U)(E1 - Ei) IWti + 2=n E,~;,,:';~+ + · · · 1
2 -
Exercice
Rayonnement par un dipôle classique
a) On obtient ~6 = 8 ~ Sw
4 a
2 sin
2 (}: même dépendance angulaire que (1 5.40).
b) En intégrant dans toutes les directions angulaires on obtient Pray = J dQ ~~ = 3 ~ 3 e
2 w
4 a
2 ,
i.e. en fonction de l'accélération: Pray= ~SP
2
c) Atome de Rutherford. On suppose la trajectoire classique quasiment circulaire (exercice 1.1 ), toutefois à cause de l'énergie rayonnée, le rayon diminue. Pendant une période T, Je rayon varie de ôr :::::e Tr et la variation d'énergie mécanique est égale à l'énergie
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
Transition 2s~ 1 s dans l'atome H
• Partant de la perturbation W(t) = - 2
q. tJ · Â(r, t), 1' approximation dipolaire électrique corm,
respond à un calcul approché del' élément de matrice ( 'PJ lp · Â(r, O)l 'Pi), qui a fait intervenir
le développement de l' exponentielle de l'onde plane : eik-i' = 1 + ik . r - ! (k . 1) 2 + ....
L'approximation dipolaire électrique a consisté à ne retenir que le premier terme (le 1). Si
l'approximation conduit à un élément de matrice nul, ( cp f 18;:,cr · fr l 'Pi ) = 0, nous pourrions
-+
garder le terme suivant, ce qui ferait apparaître ( 'PJ ICE'r,cr · f])(k · rJl 'Pi) qui conduit à de nouvelles règles de sélection. Cette approximation porte le nom « d'approximation quadrupolaire
électrique» (on peut montrer qu 'elle conduit aux règles de sélection !se= 0, ±2).
Cependant elle ne permet pas la transition entre 2s et ls non plus! On peut en effet
voir que l'élément de matrice est nul pour des raisons de symétrie : l' élément de matrice
(2slfreik-i'I ls) est un vecteur. Puisqu ' il met en jeu deux fonctions d'onde invariantes par
rotation, il ne peut qu'être proportionnel au vecteur k (la seule direction). D'où (2s l.stk ... ·
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Cette première piste n'était donc pas la bonne ...
•Le calcul perturbatif à l'ordre Je plus bas ne prédit pas de transition 2s ~ ls: cj)(t) ~
f dt'(· · · )( cp f 1 W(t')l 'Pï) = O. Nous devons considérer la correction d' ordre plus élevé.
La forme du résultat est cj
2 )(t) ~ f dt'dt"(···)2= 11 (cp1I W(t')lcp 11 )(cpn lW(t")lcpi) (cf. exercice 15 .3) et décrit des transitions par un état intermédiaire, s' interprétant comme des transitions à deux photons (une émission/absorption pour l 'Pi) ~ l 'Pn) puis une autre pour
l 'Pn) ~ l 'Pt)) . Le calcul serait beaucoup plus compliqué. Il a par exemple été reporté dans
la référence : S. Klarsfeld, Radiative decay of metastable hydrogenic atoms, Physics Letters
30A, 382 (1969). Le taux de transition est I' 2 s--+ ls :::::e 8.229 s1
, huit ordres de grandeur plus
faible que I'2p--+ ls !
Pour en savoir plus
On trouvera le calcul détaillé de la correction d'ordre 2 au taux de transition dans le
complément Ai de [10]:
2
r~5U)(E1 - Ei) IWti + 2=n E,~;,,:';~+ + · · · 1
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Exercice
Rayonnement par un dipôle classique
a) On obtient ~6 = 8 ~ Sw
4 a
2 sin
2 (}: même dépendance angulaire que (1 5.40).
b) En intégrant dans toutes les directions angulaires on obtient Pray = J dQ ~~ = 3 ~ 3 e
2 w
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2 ,
i.e. en fonction de l'accélération: Pray= ~SP
2
c) Atome de Rutherford. On suppose la trajectoire classique quasiment circulaire (exercice 1.1 ), toutefois à cause de l'énergie rayonnée, le rayon diminue. Pendant une période T, Je rayon varie de ôr :::::e Tr et la variation d'énergie mécanique est égale à l'énergie
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